 |
Задача №3. Расчет на прочность балки при изгибе
|
|
|
|
Дано: стальная балка на двух опорах, нагруженная системой внешних сил, лежащих в силовой плоскости, изображенной на рисунке 5.3, а. При расчетах принято: F= 20кН, m= 40кН∙м, q=100кН/м, [σ] = 160 МПа.
Требуется решить следующие задачи:
1. Определить опорные реакции балки;
2. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М;
3. Из расчета на прочность подобрать сечение в форме стандартного профиля двутавровой прокатной балки.
Решение:
Определение опорных реакций (рисунок 5.3, б)
Представим балку как свободное тело, для чего отбросим опоры А и D, а их действие на балку заменим реакциями XA, YA и YD.
Заменяем распределенную нагрузку 
.
При составлении уравнений равновесия примем для удобства правило знаков, по которому момент силы или момент пары сил, стремящийся повернуть балку вокруг моментной (неподвижной) точки в направлении вращения часовой стрелки, положительный.
Составим уравнения равновесия:
Откуда, получаем YD =108кН; YA≈212 кН; XA=0.
Проверка. Правильность нахождения реакций опор можно оценить, например, составив уравнение суммы проекций всех сил на ось Y:
или 
Следовательно, опорные реакции определены верно.
Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М для участков балки (рисунок 5.3, б).
1) Разбиваем балку на участки.
За границы участков принимаем сечения, где приложены момент М или сила F, а также границы действия распределенной нагрузки q. Направление обхода участков выбираются в зависимости от удобства вычислений, чем меньше нагрузок, тем проще формулы для вычислений. В данном случае имеем четыре участка (очередность буквенного обозначения определяет направление обхода, например, LD – начало обхода от точки L к D):
|
|
|
I – AB: 0≤ x1≤ 3м, (x1A=0; x1B=3м);
II – BC: 0≤ x2≤ 1м, (x2B=0; x2C=1м);
III – LD: 0≤ x3≤ 2м, (x3L=0; x3D=2м);
IV – DC: 0≤ x4≤ 2м, (x4D=0; x4C=2м).
Участок I. Выбираем начало координат в точке (опоре) А и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.
Проводим сечение в пределах участка на расстоянии х1 от начала координат. Мысленно отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся левой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:
Задавая значения x1, соответствующие границам участка I, получим
Q1A(x1=0) =YA=212кН; Q1B(x1=3м) =YA-3q=-88кН;
M1A(x1=0) =0кН∙м; M1B (x1=3м) =3YA-32q/2=186 кН∙м.
Т.к. сила Q в пределах участка меняет знак, то, очевидно, имеется значение Q=0. Согласно дифференциальной зависимости 
, очевидно, что в точке пересечения (Q=0) изгибающий момент принимает экстремальное значение. Для нахождения этого экстремума вычисляем его координату по формуле: 
Откуда, x 1Э=YA/q= 212/100=2,12 м.
Подставив значение x 1Э= 2,12 м в уравнение момента для участка, найдем величину экстремального момента
кН·м.
Участок II. Выбираем начало координат в точке В и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.
Проводим сечение в пределах участка на расстоянии х2 от начала координат. Мысленно отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся левой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:
кН (не зависит от х2);
.
Задавая значения x2, соответствующие границам участка II, получим значения изгибающего момента
кН·м;
кН·м.
Участок III. Выбираем начало координат в точке L и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.
|
|
|
Проводим сечение в пределах участка на расстоянии x3 от начала координат. Мысленно отбрасываем левую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся правой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:
кН (не зависит от х3);
.
Задавая значения x3, соответствующие границам участка III, получим значения изгибающего момента
;
кН·м.
Участок IV. Выбираем начало координат в точке D и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.
Проводим сечение в пределах участка на расстоянии x4 от начала координат. Мысленно отбрасываем левую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся правой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:
кН (не зависит от х4);
Задавая значения x4, соответствующие границам участка IV, получим значения изгибающего момента
кН·м.
кН·м.
По результатам проведенных расчетов строятся эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Эти эпюры представлены на рисунках 5.3 в - г.
Определение сечения балки по условию прочности
Определим из расчета на прочность размеры поперечного сечения балки в форме двутавра.
Подбор сечения производится по максимальному изгибающему моменту Mmax. Опасным является сечение в точке экстремума, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент Mmax =225 кН·м.
Минимально допустимый момент сопротивления сечения изгибу равен
см3.
Стандартный профиль двутавра выбирается по ГОСТ 8239-89 (приложение С.5). Из таблицы сортамента выбираем двутавр № 50:
см3, площадь - A=100см2.
Рисунок 5.3
| № | F | m | q | ||||
Вопросы для письменного ответа
|
|
|
1. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балки при изгибе? Какое принято правило знаков при их определении?
2. Какие применяются основные правила проверки эпюр Q и M?
3. Что такое осевой момент инерции сечения и момент сопротивления сечения при изгибе?
4. Как записывается условие прочности балки при изгибе?
Варианты тестовых заданий
| № | Задание | Ответы |
| 5.1 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру поперечных сил.
| |
| 5.2 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру изгибающих моментов.
| |
| 5.3 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру изгибающих моментов.
| |
| 5.4 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру поперечных сил.
| |
| 5.5 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру изгибающих моментов.
| |
| 5.6 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру изгибающих моментов.
| |
| 5.7 | Для заданной схемы нагружения балки укажите правильную эпюру поперечных сил.
| |
| 5.8 | Определить для заданной схемы нагружения изгибающий момент в опасном сечении балки длиной l.
|
|
| 5.9 | 1. 4, 1, 2, 3 2. 2, 1, 3, 4 3. 2, 3, 4, 1 4. 4, 2, 3, 1 |
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Оформление титульного листа контрольной работы
| САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ |
| ИНСТИТУТ СЕРВИСА |
Кафедра Инженерных дисциплин
К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А
по Сопротивлению материалов
Работу выполнил
студент группы (специальности)
№______________, ______ курса,
|
|
|
____________________ отделения
__________________________________
Фамилия, имя, отчество (полностью)
Работу проверил
Доцент В.Н.Шабаев
Санкт-Петербург
2016 г
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Варианты заданий для контрольной работы №1
Б.1 Варианты задания для задачи №1.1
Таблица Б1 - Числовые данные к задаче № 1.1
| № варианта А | № схемы по рисунку | Длина участков | Материал участков | № варианта В | Силы, кН | ||||||
| а | b | с | a | b | F1 | F2 | F3 | F4 | |||
| м | |||||||||||
| а) | 0,8 | 1,5 | 0,6 | ст. 35 | бронза | - | + | + | + | ||
| б) | 1,3 | 1,5 | 0,5 | чугун | бронза | + | + | + | - | ||
| а) | 1,4 | 1,6 | 0,4 | медь | алюм. | + | - | + | + | ||
| б) | 1,0 | 1,6 | 0,6 | алюм. | ст. 35 | - | + | + | - | ||
| а) | 0,5 | 1,4 | 0,3 | алюм. | бронза | + | - | - | + | ||
| б) | 0,8 | 1,4 | 0,4 | ст. 35 | чугун | - | + | - | + | ||
| а) | 0,8 | 1,2 | 0,5 | алюм. | медь | + | - | + | - | ||
| б) | 1,4 | 1,8 | 0,6 | бронза | латунь | - | - | + | + | ||
| а) | 1,2 | 1,4 | 0,4 | чугун | ст. 35 | + | + | - | - | ||
| б) | 0,5 | 1,0 | 0,3 | бронза | медь | - | - | + | - | ||
| Выбор варианта по последней цифре | Выбор варианта по первой цифре | ||||||||||
| Примечание: Знак «-» силы F означает, что направление соответствующей силы на расчетной схеме задачи на рисунке 1 необходимо заменить на противоположное. |
Рисунок Б.1 -Варианты схем нагружения к задаче №1.1
Б.2 Варианты задания для задачи №1.2
Таблица Б.2 - Числовые данные к Задаче № 1.2
| № варианта | a | b | c | d | l1 | l2 | A | φ |
| м | мм2 | градусы | ||||||
| Примечание: строка задания выбирается по первой цифре шифра задания |
| Расчетные схемы к задаче № 1.2 | |
Схема 1
| Схема 2
|
Схема 3
| Схема 4
|
Схема 5
| Схема 6
|
Схема 7
| Схема 8
|
Схема 9
| Схема 0
|
Б.3 Варианты задания для задачи №1.3
Таблица Б.3 - Числовые данные к задаче № 1.3
| Номер варианта | Размер, м | Сила, кН | Марка стали | Предел текучести, МПа | ||
| а | b | с | ||||
| 1,2 | 1,6 | 1,0 | ||||
| 1,2 | 1,5 | 0,8 | ||||
| 1,4 | 1,4 | 1,0 | ||||
| 1,4 | 1,6 | 0,9 | ||||
| 1,4 | 1,5 | 0,7 | ||||
| 1,3 | 1,4 | 0,8 | ||||
| 1,5 | 1,2 | 1,0 | 40Х | |||
| 1,5 | 1,1 | 0,9 | ||||
| 1,2 | 1,5 | 1,0 | ||||
| 1.2 | 1.6 | 1,0 | 40Х | |||
| Примечание: строка задания выбирается по первой цифре шифра задания Дополнительно принять для всех вариантов: d=1м, j=450. |
|
|
|
Схемы нагружения к задаче №1.3
Схема 1
| Схема 2
|
Схема 3
| Схема 4
|
Схема 5
| Схема 6
|
Схема 73
| Схема 8
|
Схема 96
| Схема 0
|
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Варианты заданий для контрольной работы №2
| Вариант данных выбирается по последней цифре шифра задания | |||||||||
| Параметр сечения а, см | |||||||||
| Схемы сечений к задаче №2 (номер схемы выбирается по последней цифре шифра задания) | схема 1
| схема 2
|
схема 3
| схема 4
| схема 5
|
схема 6
| схема 7
| схема 8
|
схема 9
| схема 0
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Варианты заданий для контрольной работы №3
Таблица Г1 - Исходные данные к заданию № 3
| №Б варианта | Момент, кН·м | №A варианта | [ θ ], град./м | Размеры, м | ||||
| M1 | M2 | M3 | M4 | a, c | b, l | |||
| -24 | Mx? | 0,8 | 0,5 | 1,1 | ||||
| -10 | Mx? | 1,2 | 1,0 | 0,6 | ||||
| Mx? | -22 | 0,6 | 0,7 | 0,4 | ||||
| -24 | -24 | Mx? | 0,8 | 0,8 | 0,9 | |||
| -30 | Mx? | 1,1 | 1,1 | 0,8 | ||||
| -20 | Mx? | -20 | 1,4 | 0,6 | 1,1 | |||
| -22 | Mx? | 1,6 | 0,4 | 1,2 | ||||
| -16 | Mx? | -12 | 1,3 | 0,9 | 1,0 | |||
| -20 | Mx? | 0,8 | 0,8 | 0,7 | ||||
| -10 | Mx? | -22 | 1,2 | 1,2 | 0,8 | |||
| Примечания: 1. №A выбирается по последней цифре задания, № B - по предпоследней цифре задания, 2. не заданный момент Мх? - подлежит определению. |
a
М1
М2
М3
М4
b
c
l
a)
в)
D
Y
Z
б)
D
d
Z
Y
k=d/D
а) Схема нагружения вала; б) и в) – формы сечения.
РисунокГ
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Варианты заданий для контрольной работы №4
Таблица Д - исходные данные к заданию № 4
| Номер варианта | m | F | q | a | b | c |
| Размерность | кН м | кН | кН/м | |||
| Значения | м | |||||
| M2 | -Р1 | q2 | 1,6 | 1,4 | ||
| M1 | Р2 | q1 | 1,2 | 1,8 | ||
| M1 | Р2 | q2 | 1,6 | 1,4 | ||
| M2 | Р1 | q1 | 1,2 | 1,8 | ||
| M2 | Р1 | q2 | 1,6 | 1,4 | ||
| -М1 | Р2 | q1 | 1,2 | 1,8 | ||
| M1 | -Р2 | q1 | 1,6 | 1,4 | ||
| -М1 | Р2 | q2 | 1,2 | 1,8 | ||
| M1 | -Р2 | q2 | 1,6 | 1,4 | ||
| -М2 | Р1 | q2 | 1,2 | 1,8 | ||
| Примечание: строка задания выбирается по первой цифре шифра задания |
Рисунок Д - Схемы балок к контрольной работе №4
Рисунок Д - Схемы балок к контрольной работе № 4 (продолжение)
ПРИЛОЖЕНИЕ С
|
|
|
