Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Необходимые и достаточные условия существования обратного оператора.

Лекция 5. ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

 

5.1. Определение. Взаимосвязь существования левого и правого обратных операторов в конечномерном пространстве.

5.2. Необходимые и достаточные условия существования обратного оператора.

5.3. Обратная матрица.

5.4. Теорема об обратном операторе произведения операторов, произведения оператора на число. Теорема об обратимости оператора, переводящего базис в базис.

5.5. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5.6. Преобразование координат вектора при изменении базиса.

 

 

5.1. Определение. Взаимосвязь существования левого и правого обратных
операторов в конечномерном пространстве.

Пусть – линейное пространство и – линейный оператор в нем.

Определение. Линейный оператор называется левым обратным оператору , если он удовлетворяет равенству .

Линейный оператор называется правым обратным оператору , если .

Определение. Если существует оператор, являющийся одновременно и левым, и правым обратным к , то он называется обратным для оператора и обозначается . Т. е., определение обратного оператора:

.

При этом оператор называется обратимым (невырожденным).

Теорема. Почти очевидное утверждение: если оператор имеет одновременно и левый обратный и правый обратный , то .

Надо доказать: .

Доказательство:

.

Можно привести примеры, когда один односторонний обратный оператор существует, а второго нет. Действительно, рассмотрим бесконечномерное линейное пространство всех многочленов – и оператор дифференцирования, оператор интегрирования в нем:

, .

,

.

Это в бесконечномерном пространстве, а как обстоит дело в конечномерном?

Докажем теорему: если -мерное линейное пространство и – линейный оператор, действующий в нем, имеет левый обратный , то он является и правым обратным, т. е. является просто обратным оператором :

.

Доказательство:

Дано , -мерное, в нем существует базис из векторов , , …, . Рассмотри действие оператора на базисные векторы, результат обозначим : (). (5.1)

Покажем, что векторы также образуют базис в .

Рассмотрим

.

Подставим в эту линейную комбинацию выражение вектора (5.1) и подействуем на нее оператором :

,

Поскольку векторы () – базисные. Следовательно, векторы тоже базисные. Подействуем на них оператором :

.

На полученный результат подействуем оператором :

.

Если линейный оператор не меняет базисных векторов, то он не меняет и любой вектор, являющийся линейной комбинацией базисных векторов:

.

 

Необходимые и достаточные условия существования обратного оператора.

Пусть – линейное пространство и – линейный оператор в нем.

Докажем утверждение: если линейный оператор переводит любой ненулевой вектор в нулевой (обнуляет ненулевой вектор) , для него не существует обратного (никакого).

Доказательство:

Возьмем любой оператор , умножим его слева на и подействуем полученным оператором на любой вектор :

.

Здесь использовано очевидное утверждение: любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой: .

С другой стороны, . Т.е. не существует.

Если в доказанном утверждении заменить любой ненулевой вектор на хотя-бы один такой, то доказывается отсутствие лишь левого обратного для .

Пример: рассмотрим -мерное арифметическое пространство и действующий в нем оператор , обращающий 1-ю координату в 0, а остольные не меняющий. Возьмем ненулевой вектор . Если , то у нет обратного.

Следовательно, необходимым условием существования обратного оператора является требование: , но достаточным оно не является.

Пример: пусть . Возьмем в нем оператор интегрирования : . Тогда необходимое условие имеет вид:

.

Здесь необходимое условие выполнено, а обратного оператора, как было показано ранее, вообще говоря, нет.

Теорема: В конечномерном пространстве необходимое условие существования обратного оператора является и достаточным.

Доказательство:

-мерное линейное пространство, , , …, – базис в нем. Подействуем оператором на базисные векторы, получим векторы (5.1). Покажем, что они также образуют базис.

.

,

поскольку векторы () – базисные. Следовательно, векторы тоже базисные.

Как было показано на предыдущей лекции, существует единственный линейный оператор , который переводит базисные векторы : .

Рассмотрим действие оператора на базисные векторы :

.

Если на базисных векторах оператор действует как единичный, то и для любого вектора имеем:

И так как – конечномерное пространство, .

 

Обратная матрица.

 

Пусть -мерное линейное пространство и действующий в нем оператор обратим:

. (5.2)

Возьмем базис , , …, . В этом базисе операторам и соответствуют некоторые матрицы. Обозначим их и . Естественно назвать матрицей, обратной матрице .

Поскольку линейное пространство всех квадратных матриц -го порядка изоморфно всему пространству линейных операторов в другом соответствующем -мерном пространстве, то соответственно (5.2) получим:

. (5.3)

Если существует матрица , то матрица называется обратимой (невырожденной). При взятии определителя от матричного равенства (5.3) получим числовое равенство:

.

Следовательно, если матрица обратима, то ее определитель не равен нулю. Если вспомнить явное выражение обратной матрицы через определитель исходной матрицы и алгебраические дополнения ее элементов, то можно сказать, что это необходимое условие обратимости матрицы является и достаточным.

 

5.4. Теорема об обратном операторе произведения операторов, произведения
оператора на число. Теорема об обратимости оператора, переводящего базис в базис.

 

Теорема: Если и – два обратимых оператора, то их произведение – также обратимый оператор, причем

;

Если – обратимый оператор и число , то оператор тоже обратимый, причем

.

Доказательство: Дано: : , .

Возьмем произведение операторов , умножим его слева на , а затем слева на

, т.е. .

При умножении оператора на оператор опять получим единичный оператор , что доказывает сформулированное утверждение.

Теорема: Если оператор переводит базис в базис, то он обратимый оператор.

Доказательство: Дано: в -мерном линейном пространстве есть два базиса и (), причем ;

. (5.4)

Преобразуем левую и правую стороны последнего соотношения (5.4): слева вместо подставим их выражения через и вынесем наружу оператор :

.

Справа из нулевых коэффициентов сформируем нулевую линейную комбинацию векторов : . При этом соотношение (5.4) принимает вид:

, т.е. и с учетом конечномерности пространства оператор обратим.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...