Определенный интеграл как предел интегрально суммы.

Интегрирование по частям. замена переменной

Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

 

 

определенный интеграл как предел интегрально суммы.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [ а;b ], a < b. Выполним следующие действия.
1.С помощью точек разобьем отрезок [ а, b ] на n частичных отрезков (см. рис.).

2.В каждом частичном отрезке выборем произвольную точку и вычислим значение функции в ней. т.е. величину .
3.Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: .
4.Составим сумму всех таких произведений:
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = f(x) на отрезке [ а; b ]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка:
5.Найдем предел интегральной суммы (35.1). когда n→∞ так, что λ→0.
Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f{x) на отрезке [ а; b ] и обозначается . Таким образом, Числа a и b называются соответстиенно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования.
отрезок [ а; b ] — областью (отрезком) интегрирования.
Функция у = f(x), для которой на отрезке [ a; b ] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.
Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).
Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (Коши), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.
2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3. Для любого действительного числа с:

 

65. геометрический смысл. определенного интеграла.

Пусть ф-я определена на отрезке . Разобьём отрезок точками . Длина каждого . Выберем в каждом из частичных отрезков точку .

Рассмотрим сумму Эта сумма наз. частично интегральной суммой ф-и на отрезке . Геометрически сумма предст. собой алгебраич. сумму площадей прямоугольников, в основании кот. лежат отрезки , а высоты равны .

Предел интегральной суммы , найденный при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стрем. к 0, (мелкость разбиения стрем. к 0) наз. определённым интегралом функции в пределах от до

Теорема: если ф-я непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек .

Если на , то геометрически опр. интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком , осью ОХ и двумя прямыми и , называемый криволинейной трапецией.

Свойства определённого интеграла:

1.

2.

3.

4.

5. , то

6.

7.

8. , , то

9. ф-я непрерывна на отрезке , ,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка , такая, что

10. −я непрерывна и ,то имеет место равенство Ф-я наз. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

11. Ньютона-Лейбница: если - какая-либо первообразная от , то

 

Формула Ньютона-Лейбица.

Введем сначала понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию у = ƒ(х), интегрируемую на отрезке [a, b]. Если х [a, b], то функция ƒ(х) интегрируема также на любом отрезке [a, x]. Предположим, что х меняется на отрезке [a, b], тогда на этом отрезке определена функция

Докажем, что функция непрерывна на отрезке [a, b]. Аргумент х придадим приращение такое, что [a, b], тогда по свойству 1 определенного интеграла получим

Применяя теорему о среднем, находим

где m – наименьшее, М – наибольшее значение функции ƒ(х) на отрезке (х, х + + Δх]; эти значения существуют, так как функция интегрируема, следовательно, и ограничена.

Из двух последних равенств следует, ΔФ = μΔх, откуда ΔФ→0 при Δх→0, т.е. Ф(х) – неравная функция, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним переделом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т.е.

Ф’(х) = ƒ(х).

Доказательство.

Аргументу х функции придадим приращение Δх такое, что [a, b], ему соответствует приращение функции

Применяя формулу получаем = х + θΔх, 0< θ<1.

Итак, ΔФ = ƒ(ξ)Δх, откуда

θΔх) = ƒ(х), т.е.

или

что и требовалось доказать.

Следствие. Определенный интеграл верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Формула Ньютона – Лейбница.

Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b],а функция F(x)—какая-л. ее первообразная (т.е. F’(x)=f(x)), то

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: