Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения ;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х, .

в) заменить его выражением через х .

Пример:

§6. Метод логарифмического дифференцирования.

 

5. Дифференцирование неявных функций Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х. а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ; б) из полученного уравнения выразим .

Пример: .

 

 

 

В21.Приращение и дифференциал функции одной переменной.Условия существования диффренциала. Инвариантность форм записи дифференциала первого порядка.

Дифференциал функции:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х: т.е. для её прира­щения Dу в этой точке выполняется равенство [2]. Тогда Dу есть сумма двух слагаемых. Первое из них A Dx про­порционально Dx, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от Dх. Второе – о (Dх)_Dx®0 является бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с Dx. Если А¹0, то второе сла­гаемое стремится к нулю при Dx®0 быстрее, чем пер­вое. В связи с этим первое слагаемое A Dx=f'(x)Dx наз. главным членом приращения Dy. Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом dy. Итак, по определению dy=df=f'(x)Dx. На (рис. 47) изображен график Г функции y=f(x);

Т –касательная к Г в точке A, имеющей абсциссу х; f'(x)=tga, где a – угол, образованный касательной с осью х; dy=f'(х)Dx=tgaDx=CD, DB=Dy–dy= o (Dx)_Dx®0. Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответствующий приращению Dx, есть приращение ординаты точки, ле­жащей на касательной (dy=CD). Вообще говоря, dy¹Dy, ибо Dy=dy+ o (Dx)_Dx®0, а второй член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у=Ах+В имеет место ра­венство Dу=А Dx=dy для любого х. В частности, для у=х, dy=dx=Dx т.е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx=Dx). По­этому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так: dy=f'(x)dx, откуда f'(x)=dy/dx,

т.е. производная функции f в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х.

Это объясняет, что выражение dy/dx употребляется как символ для обозначения произ­водной. Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен Dx – произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx. Отметим формулы:

d(u±u¹)=du±du [3]; d(u×u)=udu+udu [4]; d(cu)=cdu (c – постоянная) [5]; d(u/u)=(udu–udu)/u² (при u¹0) [6]; где предполагается, что u и u – дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х. Например, формула [6] доказывается так:

 

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+a(∆x)∆x)1

a(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)ºA∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство:Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+a(∆x)∆x¹; a(0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х®0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+a(x))=A. Этот предел существует, меньше ¥, тогда по определению этот предел есть

^{∆x®0 ∆x®0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀ $ f’(x₀)(<¥) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и $ lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀)Þ по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x®0

(∆f(x₀))/∆x=a(∆х)+f’(x₀) при ∆х®0 Þ ∆f(x₀)=f’(x₀)+a(∆x)∆x, так как lima(∆x)=0, то в точке х₀ y a(∆x) может

^∆х®0

быть лишь устранимым разрывом. Устраним его, определим и доопределим:

a(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+a(∆x)∆x Þ A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=p/2 ∆x=p/180

y’=-sinx y’(p/2)=-sin(p/2)=-1

dy(p/2)=-1∆x=-1p/180=-p/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+a(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+b(∆x)∆x a(0)=0 b(0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)b(∆x)∆x+a[f’(x₀)+b(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+b(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)b(∆x)+lim a(f’(x₀)+b(∆x)∆x)[f’(x₀)+b∆x] Þ z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x®0 ∆x®0 ∆x®0 ∆x®0}

доказать.Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Инвариантность форм записи: дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент и был независимой переменной. Иначе:форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Найдем диф.сложной функции: y=f(u), u=g(x) или y=(f(g(x))). По правило диффер.сложной функции: dy/dx=f’(u)g’(x) => dy=f’(u)g’(x)dx но g’(x)dx=du поэтому dy=f’(u)du

 

В22.Геометрический смысл дифференциала функции одной перменной. Касательная и нормаль к плоскости.

 

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tga

уравнение прямой: Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tga=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

 

 

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+a(∆x)∆x при ∆х®0 Þ в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+a(∆x)∆x при ∆х®0

Y1=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

 

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

(*) f(x)-Y=a(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)»f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), x»x₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х®0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

 

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку М(х , у ), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kх + b. Поскольку для касательной k=f ¢(x ), то получаем уравнение y=f ¢(x )×x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку М(х , ). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: у = f ¢(x )×x + b. Отсюда b=y – f ¢(x )×x .

Таким образом, получаем уравнение касательной y=f ¢(x )×x +y - f ¢(x )×x или

y = f ¢(x )×(x – x ) + f(x )

Если касательная, проходящая через точку М(х , ) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение х=х .

 

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной к равенством:

= tg b = tg(90° + a) = - ctg a = = = .

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку М(х , у ), то уравнение нормали к кривой y=f(x) в данной точке М имеет вид:

y = ×(x – x )+f(x0)

Ясно, что если касательная параллельна оси Ох, т.е. f ¢(x )=0 и ее уравнение имеет вид у=у , то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ох. Значит, ее уравнение имеет вид х=х .

 

В23.Производные и дифференциалы порядка выше первого функции одной переменной. Нарушение инвариантности форм записи. Линейная замена переменной. Производные функции, заданной параметрически.

 

Существует f’(x) " xÎ(a,b), тогда эта производная сама является функцией х g(х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует g’(x) " xÎ(a,b), то мы называем её второй производной g’(x)ºf’’(x)

Диф.высших порядков не инвариантен: d² y=d(F’(u)du) Но здесь du=g’(x)dx зависит от х и поетому мы получаем d²y=d(F(u))du+F’(u)d(du) или d²y=F’’(u)(du)²+F’(u)d²u где d²u=g’’(x)(dx)²

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,тогда , или риме:

 

 

В24.Точка монотонности функции и достаточное условие их существования.Точки экстремума функции.Необходимое условие экстремума функции..

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

 

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

 

В25 Теорема Роля и ее геометрический смысл.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда $ сÎ(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)ºconst ("xÎ[a,b]) (const)’=0.

Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например M¹f(a):$ c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная || оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

В26.ТеоремаЛангранжа и Коши о диф.на отрезках функциях.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+lx где l - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число l, так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+la

F(b)=f(b)+lb

F(a)=F(b) Þ f(a)-f(b)=l(a-b) Þ l=[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b] Þ $ cÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+l 0=f’(c)+l Þ f’(c)=-l=[f(b)-f(a)]/[b-a] То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая [f(b)-f(a)]/[b-a]=tga=f(x) $ cÎ(a,b) Замечание: Часто точку с можно представить в

нужном виде: с=х₀+q∆х 0<(c-x₀)/(x-x₀)= q<1 c-x₀=q(x-x₀) c=x₀+q(x-x₀)1 f(x)-f(x₀)=f’(x₀+q∆x)(x-x₀) 0<q<1 ∆f(x₀)=f’(x₀+q∆x)∆x

 

 

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

: Отметим прежде всего, что g(b)¹g(a), так как по теореме Ролля для функции g(x)

F(x)=(f(x)-f(a)) (g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a)) –вспомогательная фун-я

Требуем:1.F(x) определена и непрерывна на всем [a;b]т.к. она линейная кобминация непрерывных.2.F(x) дифференцируема на всем промежутке т.к. коомб. 3. F(a)=0 F(b)=0

F(a)=F(b)=0 – все условия т.Ролля => внутри [a;b] есть С, где F’(C)=0 выразим это f’(x)(g(b))-g(a))-(f(b)-b(a))g’c=0

Справедлива, тюк. g(b)!=g(a)по Ролю

 

В27.Правило Лопиталя.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или ¥/¥ при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)¹0 в О°(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и $

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда $ lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= | $ c=c(x) лежащая между х их₀ если

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

х®х₀ то с®х₀ | =lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_°

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^x®x_° ^x®x_°

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если $ f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)¹0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+a(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+b (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Теорема: (¥/¥) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О°(х₀), g'(x)¹0 и О°(х₀), дифференцируемы в О°(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=¥; $ lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x®¥

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!=¥ "nÎ N lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+¥

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥}

f(x)=lnx

x®+¥

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥}

 

В28.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа.

Пусть на интервале [a, b] функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:

f(a) = f(b) = f '(a) = f ''(a)=... = f ^(n-1)(a)=0

Тогда внутри интервала [a, b] найдется хотя бы одно значение с, при котором

f ⁽ⁿ⁾(c) = 0

Доказательство. По теореме Ролля имеем

f '(x₀) = 0,

где a < x₀ < b. Тогда f '(x) на интервале [a, x₀] удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f '(a) = 0 и f '(x₀) = 0, а потому

f ''(x₁) = 0,

где a < x₁ < x₀.
Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ''(x), f '''(x),..., f ^(n-1)(x), найдем наконец:

f ⁽ⁿ⁾(с) = 0,

где a < c < x_n-1 < b. Теорема доказана.
Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале [a, b].
Рассмотрим вспомогательную функцию

j (x) = f (x) - P (x),

где

Продифференцируем n раз функцию j (x). Тогда будем иметь

............................
j ^(n-1)(x) = f^(n-1)(x) - A_n-1 - A_n(x - a),
j ⁽ⁿ⁾(x) = f⁽ⁿ⁾(x) - A_n

Потребуем, чтобы функция j (x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь

(1)
.

Так как функция j (x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b), что

j ⁽ⁿ⁾(с) = f⁽ⁿ⁾(с) - A_n = 0 (2)

Далее найдем из n первых уравнений системы (1) коэффициенты A₀, A₁,..., A_n-1:

A₀ = f(a), A₁ = f'(a), A₂ = f''(a),..., A_n-1 = f^(n-1)(a),

а из уравнения (2) коэффициент A_n: A_n = f⁽ⁿ⁾(c) и подставим их значения в последнее уравнение системы (1):

,

где 0 < Q < 1
Заменяя b на x, получим формулу Тейлора:

где 0 < Q < 1
Последнее слагаемое

называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При a = 0 получается так называемая формула Маклорена:

где 0 < Q < 1, а остаточный член записывается в виде

 

 

В29.Условие монотонности функции на промежутке. Условие постоянства функции на промежутке и его свойства.

 

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a;b] и имеет конечную производную во всех точках.Для того, чтобы функ-я была постоянной достаточно чтобы производная=0 в каждой точке отрезка.

Док-во по теореме лангранжа есть хоть одно С из (x₀,x) для которого f(c)=f(x₀)+f’(c)(=0)(x-x₀) (f’(x)-f(x))/(x’-x₀)=f’(c) f(x)=f(x)

Следствие: f(x) и g(x) непрер, имеют производн и если производн совпад., то фун-и отличаются на постоянную величину.

Док-во: h(x)=f(x)-g(x) h’(x)=f’(x)-g’(x)=0 f-g=c f=g+c

 

 

В30.Достаточные признаки экстремума функции 1 переменной

Экстремумы функции.

Можно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)<f(x₁) b и О°_d1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О°_d2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О°(х₀) или f(x)<f(x₀) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)£f(x₁) в О_d1(х₁)

f(x)³f(x₂) в О_d2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

 

 

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+a(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)¹0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀ Þ f’(x₀)=0

Функция u=f(Р) имеет максимум (минимум) в точке P₀(x⁰₁,...,x⁰_n), если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек Р (x₁,...,x_n)которой, отличных от точки P₀, вы­полняется неравенство f(Р₀)>f(Р) (соответственно f(Р₀)<f(P)). Максимум или минимум функции наз. её экстремумом. Необходимое условие экстремума: Если дифферен­цируемая функция f(Р) достигает экстремума в точке P₀, то в этой точке

f'_xk(P₀)=0 для всех k=1,2,...,n {1} или df(P₀,Dx₁,...,Dx_n)=0 тождественно относительно,Dx₁,...,Dx_n. Точки, в которых выполняются условия {1} наз. стационарными точками функции u=f(Р). Таким образом, если P₀ – точка экстремума функции u=f(P), то либо P₀ – стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть P₀(x⁰₁,...,x⁰_n) – стационарная точка функции u=f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Тогда: (1) если второй дифференциал d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n)) как функ­ция Dx₁,...,Dx_n имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений Dx₁,...,Dx_n не равных одновременно нулю, то функция u=f(P) имеет в точке P₀ экстремум, а именно – максимум при d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))<0 и минимум при d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))>0; (2) если d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n)) является знакопеременной функ­цией Dx₁,...,Dx_n, т.е. принимает как положительные, так и отри­цательные значения то точка P₀ не является точкой экстремума функции u=f(P); (3) если d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))³0 или d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))£0, причем, существуют такие наборы значений Dx₁,...,Dx_n не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция, u=f(P) в точке P₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y) причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Введем обозначения: A=f''_xx(x₀,y₀), B=f''_xx(x₀,y₀), C=f''_xx(x₀,y₀) D=AC–B². Тогда: [1] если D>0, то функция z=f(х,у) имеет в точке Р₀(x₀,y₀) экстремум, а именно – максимум при А<0 (С<0) и минимум при А>0 (С>0); [2] если D<0, то экстремум в точке Р₀(x₀,y₀) отсутствует; [3] если D=0, то требуется дополнительное исследование.

 

 

В31.Вогнутость, выпуклость, точки перегиба графика функции. Условиях их существования

 

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

 

 

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

 

 

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О°(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

 

Теорема: (о достаточном условие выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

 

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О°(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

 

f’’(x) - +

^{(·) x}

x₀

f’’(x)<0 в O°^-(x₀)Þ f(x) – выпукла вверх в О°^-(х₀)

f’’(x)>0 в O°⁺(x₀)Þ f(x) – выпукла вниз в О°⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

 

 

В32.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

1.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: