Проекция силы на координатную ось

 

В тех случаях, когда на тело действует более трех сил, а также когда неизвестны направления некоторых сил, удобнее при решении задач пользоваться не геометрическим, а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

Пусть даны координатные оси х, у, сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей.

Проекциями силы Р на оси будут отрезки аЬ и а'Ь'. Обозначим эти проекции соответственно Р_х и Р_у. Тогда

 

Р_Х = Р cos(x); Р_у = Рsin(x).

 

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.

Установим следующее правило знаков: если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направлением оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.

Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину.

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю Зная две проекции Р_х и Р_у, из треугольника ЛВС определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

 

Р = _у/Р* + Р*, направляющий тангенс угла между вектором силы Р и осью х 1_ёа = Р_у/Р_х.

 

Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Р_х и Р, параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Р_х и Р_у и проекции Р_х и Р_у принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция — величина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.

Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимодействия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению. Таким образом, рассматривая равновесие любой из двух частей рассеченного тела, мы получим одно и то же значение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, для которой уравнения равновесия проще.

Далее перейдем к рассмотрению основных деформаций. Из практики известно, что в процессе эксплуатации элементы конструкций испытывают следующие основные деформации:

1. растяжение; эту деформацию испытывают, например, канаты, тросы, цепи, шток протяжного станка;

2. сжатие; на сжатие работают, например, колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов;

3. сдвиг; деформацию сдвига испытывают заклепки, болты, шпонки, швы сварных соединений. Деформацию сдвига, до- веденную до разрушения материала, называют срезом. Срез возникает, например, при резке ножницами или штамповке деталей из листового материала;

4. кручение; на кручение работают валы, передающие мощность при вращательном движении. Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями, например изгибом;

5. изгиб; на изгиб работают балки, оси, зубья зубчатых колес и другие элементы конструкций.

Очень часто элементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременно несколько основных деформаций. Так, например, в теоретической механике мы рассмотрели усилия, действующие на колесо червячной передачи. Очевидно, что в этом случае возникают следующие деформации вала червячного колеса:

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 — 1703).

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах:

 

[£] = [а]/[8] = Па.

 

Значения Е, МПа, для некоторых материалов:

Чугун........................ (1,5...1,6) 10⁵

Сталь...................... (1,96...2,16) 10⁵

Медь.......................... (1,0...1,3)10⁵

Сплавы алюминия.. (0,69...0,71) 10⁵

Дерево (вдоль волокон) (0,1...0,16) 10⁵

Текстолит................. (0,06...0,1)10⁵

Капрон.................... (0,01... 0,02) 10⁵

Если в формулу закона Гука подставим выражения a = N/A, 8 = А///, то получим

M=Nl/(EA).

 

Произведение ЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.

Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.

Отношение называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков.

Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали представлена на рис. 19.6. Эта диаграмма имеет следующие характерные точки.

Точка А практически соответствует и другому пределу, который называется пределом упругости.

Пределом упругости а_уп называется то наибольшее напряжение, до которого деформации практически остаются упругими.

Точка С соответствует пределу текучести.

Пределом текучести а_т называется такое напряжение, при котором в образце появляется заметное удлинение без увеличения нагрузки.

При достижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как на ней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45°.

Эти линии впервые были описаны в 1859 г. немецким металлургом Людерсом и независимо от него в 1884 г. русским металлургом Д.К. Черновым (1839—1921), предложившим использовать их при экспериментальном изучении напряжений в сложных деталях.

Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов. Точка В соответствует временному сопротивлению или пределу прочности.

Временным сопротивлением а_в называется условное напряжение, равное отношению максимальной силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения (для стали СтЗ а_в400 МПа).

При достижении временного сопротивления на растягиваемом образце образуется местное сужение — шейка, т. е. начинается разрушение образца.

В определении временного сопротивления говорится об условном напряжении, так как в сечениях шейки напряжения будут больше.

Пределом прочности а_пч называется временное сопротивление образца, разрушающегося без образования шейки. Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов.

Точка И соответствует напряжению, возникающему в образце в момент разрыва во всех поперечных сечениях, кроме сечений шейки.

Точка М соответствует напряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: