 |
Позиционная система счисления
|
|
|
|
Введение
Необходимость производить вычисления существовала всегда. Люди, пытаясь совершенствовать процесс вычисления, изобрели всевозможные приспособления. Об этом свидетельствуют и греческий абак, и японский себорян, и русские счёты и еще множество разнообразных устройств. В XVII веке были созданы первые механические счетные машины, а в XIX веке они получили широкое распространение. Самое удивительное устройство, названное сначала электронно-вычислительной машиной (ЭВМ), а затем компьютером, подарил человеку ХХ век.
Ручной этап развития вычислительной техники
Пальцевый счет
Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека в верхнем палеолите, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.
К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.
Известные средневековые математики рекомендовали в качестве вспомогательного средства именно пальцевый счет, допускающий довольно эффективные системы счета. Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.
Средняя Европа.
Североевропейский пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 100. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя - единицы.
|
|
|
Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой руки были соединены в кольцо. Для того чтобы изобразить число 60, большой палец нужно согнуть и как бы склонить его перед указательным, нависающим над ним. Чтобы показать число 100, нужно было прижать выпрямленный большой палец снизу к указательному и отвести остальные три пальца в сторону.
Россия.
В древнерусской нумерации единицы назывались «перстами», десятки - «суставами», а все остальные числа - «сочислениями».
Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: «два сапога - пара», «двугривенный» и т.д.
В Древней Руси (особенно в Новгородской республике XII-XV веков) был широко распространен счет, основанный на счислении числа фаланг на руке «счетовода». Счет начинался с верхней фаланги «перстка» (мизинца) левой руки, а заканчивался нижней фалангой («низ перста») указательного пальца.
Счет сороками (или «сороковицами») имел преимущественное распространение в Древней Руси. О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука - означало избавиться от сорока грехов и т.д. Все то количество, которое превышало некое множество (например, «сорок»), превосходящее всякое воображение («сорок сороков») и не умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом - «тьма».
Интересный факт: пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до настоящего времени и активно используется, например, судьей на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно-сырьевой бирже где-нибудь в Чикаго или Токио. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем (а американцы, наоборот, разгибают) пальцы, в споре показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции.
|
|
|
Фиксация счета
Фиксация результатов счета производилась различными способами: нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Например, у народов доколумбовой Америки был весьма развит узелковый счет. Более того, система узелков выполняла также роль своего рода хроник и летописей, имея достаточно сложную структуру. Однако использование ее требовало хорошей тренировки памяти.
Интересный факт: в раскопках была обнаружена так называемая «вестоницкая кость» с зарубками, относящаяся к 30 тыс. до н.э., что позволяет историкам предположить, что уже тогда наши предки были знакомы с зачатками счета.
Счеты
Историю цифровых устройств начать следует со счетов. Подобный инструмент был известен у всех народов, рассмотрим некоторые из них.
Абак (лат. abacus - доска) - счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений. Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне около 3 тыс. до н.э. Первоначально представлял собой доску, разграфленную на полосы или со сделанными углублениями. Счетные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н.э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.
Древняя Греция.
Древнегреческий абак (доска или «саламинская доска» по имени острова Саламин в Эгейском море) представлял собой посыпанную морским песком дощечку. На песке проходили бороздки, на которых камешками обозначались числа. Одна бороздка соответствовала единицам, другая - десяткам и т.д. Если в какой-то бороздке при счете набиралось более 10 камешков, их снимали и добавляли один камешек в следующем разряде.
Древний Рим
Римляне усовершенствовали абак, перейдя от деревянных досок, песка и камешков к мраморным доскам с выточенными желобками и мраморными шариками.
Китай
Китайские счеты суан-пан состояли из деревянной рамки, разделенной на верхние и нижние секции. Палочки соотносятся с колонками, а бусинки - с числами. У китайцев в основе счета лежала не десятка, а пятерка. Суан-пан разделены на две части: в нижней части на каждом ряду располагаются по 5 косточек, в верхней части - по 2. Таким образом, для того, чтобы выставить на этих счетах число 6, ставили сначала косточку, соответствующую пятерке, а затем добавляли одну косточку в разряд единиц.
|
|
|
Япония.
У японцев это же устройство для счета носило название серобян. Серобян - японский абак, происходит от китайского суан-пана, который был завезен в Японию в XV-XVI веках. Серобян проще своего предшественника, у него на «небе» на один шарик меньше, чем у суан-пана.
Европа
В Европе абак применялся до XVIII века. Даже развитие самой математики на определенных этапах ее становления было связано с абаком, когда истинность некоторых вычислительных алгоритмов подтверждалась возможность их реализации на абаке. В Средние века сторонники производства арифметических вычислений исключительно при помощи абака - абацисты - в течение нескольких столетий вели ожесточённую борьбу с алгоритмиками - приверженцами возникших тогда методов алгоритмизации арифметических действий.
Россия
На Руси долгое время считали по косточкам, раскладываемым в кучки. Примерно с XV века получил распространение «дощатый счет», завезенный, видимо, западными купцами с ворванью и текстилем. «Дощатый счет» почти не отличался от обычных счетов и представлял собой рамку с укрепленными горизонтальными веревочками, на которые были нанизаны просверленные сливовые или вишневые косточки.
Современные счеты.
Многовековой путь совершенствования абака привел к созданию счетного прибора законченной классической формы, используемого вплоть до эпохи расцвета клавишных настольных ЭВМ, мы его называем «счеты».
Счеты - это простое механическое устройство для произведения арифметических расчётов, являющееся одним из первых вычислительных устройств. Счёты представляют собой раму с нанизанными на спицы костяшками. В недавнем прошлом в СССР их использовали повсеместно. Да еще и сегодня кое-где их можно встретить, помогающими в расчетных операциях. И только появление карманных электронных калькуляторов в 70-е годы нашего столетия создало реальную угрозу для дальнейшего использования русских, китайских и японских счетов - трех основных классических форм абака, сохранившихся до наших дней.
|
|
|
Позиционная система счисления
Использование абака уже предполагает наличие некоторой позиционной системы счисления, например, десятичной, троичной, пятеричной и др. Однако изобрели ее только в IX веке н.э. индийские ученые.
Арабский ученый, математик Мухаммед бен Муса ал-Хорезми в своей книге подробно описал индийскую арифметику. Триста лет спустя (в 1120 году) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником «индийской» (то есть нашей современной) арифметики для всех европейских городов.
Логарифмическая линейка
Логарифмы послужили основой создания замечательного вычислительного инструмента - логарифмической линейки, более 360 лет служащего инженерно-техническим работникам всего мира. Прообразом современной логарифмической линейки считается логарифмическая шкала Э. Гюнтера, использованная У. Отредом и Р. Деламейном при создании первых логарифмических линеек. Усилиями целого ряда исследователей логарифмическая линейка постоянно совершенствовалась и видом, наиболее близким к современному, она обязана 19-летнему французскому офицеру А. Манхейму.
Логарифмическая линейка - аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе, умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб), вычисление логарифмов, тригонометрических функций и другие операции.
|
|
|
