Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Примеры решения задач

ПРАКТИКА № 5

ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Задачи и упражнения

для самостоятельной работы

(пользуйтесь решением примерных задач на стр. 5)

Задача 1

Из партии готовой продукции в порядке механической выборки проверено 50 лампочек на продолжительность горения. Последняя оказалась равна 840 ч при среднем квадратическом отклонении 60 ч.

Определить:

1) среднюю ошибку (μ) выборочной средней продолжительности горения лампочки;

2) с вероятностью 0,95 доверительные пределы продолжительности горения лампочки в генеральной совокупности.

Ответ: 1) μ = 8,5 ч; 2) 823,3 ч 856,7 ч.

Задача 2

На городской телефонной станции в порядке собственно случайной выборки проведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 мин при среднем квадратическом отклонении 5 мин.

1. С вероятностью 0,997 определить доверительные пределы для генеральной средней.

2. Можно ли считать данную выборку репрезентативной?

Ответ: 1) 8,5 мин 11,5 мин;

2) . Нет, так как относительная ошибка выборки _отн > 5%.

Задача 3

Поданным задачи 2 ответить на вопрос: с какой вероятностью можно утверждать, что при определении средней продолжительности одного телефонного разговора допущена ошибка, не превышающая 1 мин.

Ответ: 0,9545.

Задача 4

Из партии готовой продукции в порядке механической бесповторной выборки проверено 400 изделий и установлено, что 80% из них соответствует первому сорту.

С вероятностью 0,9545 определить долю (процент) продукции первого сорта во всей партии.

Задачу решить в двух вариантах:

1) численность изделий в партии готовой продукции неизвестна;

2) в партии готовой продукции 2000 изделий.

Ответ: 1)76% 84%; 2) 76,4% 83,6%.

Задача 5

Впорядке случайной выборки обследован дневной надой молока 50 коров. Результаты обследования приведены в таблице.

Дневная удойность, кг	Количество коров
10-14 14-18 18-22 Свыше 22
Итого

Определить:

1) по выборочным данным средний дневной надой молока от одной коровы;

2) среднюю ошибку выборки;

3) вероятность того, что при определении выборочного среднего надоя молока допущена ошибка, не превышающая 1 кг.

О т в е т: 1) = 18,8 кг; 2) μ = 0,51 кг; 3) Р = 0,95.

Задача 6

Намечается провести выборочное обследование покупателей в одном из крупных универмагов города в целях определения доли покупателей из других городов. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было бы гарантировать точность результата до 5%.

Ответ: 400 чел.

Задача 7

На предприятии выборочно проверен стаж работы у 12 мужчин и 8 женщин. Результаты наблюдения следующие:

Группа рабочих	п_i	Средний стаж работы, лет, _i	Среднее квадратическое отклонение стажа, лет, σ_i
Мужчины Женщины

1. Рассчитать общий средний стаж работы для рабочих по выборочным данным.

2. С вероятностью 0,954 определить доверительные пределы среднего стажа работы рабочих в генеральной совокупности.

Ответ: 1) _общ ⁼ 12,8 года; 2) 11,6 года 14,0 года.

Задача 8

По данным задачи 7 определить, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней стажа работы у мужчин и женщин (14 лет и 11 лет) случайными (на уровне значимости = 0,05 и при числе степеней свободы К = n₁ + п₂ — 2 = 18).

Ответ: t _табл=2,1, а ; так как 2,5 > 2,1, то нельзя считать расхождения случайными с Р= 1- 0,05 = 0,95.

Задача 9

Для определения среднего процента выполнения норм выработки проведена 5%-ная типическая выборка из трех групп рабочих с разным стажем. Результаты следующие:

Группы рабочих со стажем	Объем выборки, чел., п_i	Средний процент выполнения норм	Среднее квадратическое отклонение, %, σ_i
1—2 года 3—5 лет Более 5 лет

Определить:

1) средний процент выполнения норм для всех рабочих в выборочной совокупности;

2) вероятность того, что выборочная средняя (процент выполнения норм) отличается от генеральной не более чем на 1%.

Ответ: 1) = 102,7; 2) Р= 0,996.

Задача 10

Имеются следующие данные выборочного обследования размера дневной заработной платы у 5 мужчин и 5 женщин в одном из НИИ:

Дневная заработная плата, руб.
женщины	мужчины

Определить:

1) среднюю дневную зарплату отдельно для мужчин и для женщин, а также общую среднюю, т.е. для всей выборочной совокупности;

2) среднюю ошибку выборки для общей средней дневной зарплаты;

3) вероятность того, что общая выборочная средняя дневной зарплата отличается от генеральной не более чем на 50 руб.;

4) можно ли считать случайными расхождения между средней дневной зарплатой мужчин и женщин?

О т в е т: 1) = 770 руб., =610 руб., = 690 руб.;

2) μ = 29,89 руб.; 3) Р = 0,876.

Задача 11

Выборочное обследование 10 электрических лампочек для определения их средней продолжительности горения дало следующее распределение (см. таблицу).

Определить:

1) среднюю продолжительность горения лампочек по выборочным данным;

2) с вероятностью 0,97 оценить доверительные пределы для генеральной средней.

Продолжительность горения, ч	Количество лампочек
900-920 920-940 940-960 960-980

О т в е т: 1) = 938,2 ч; 2) 924,94 < ~х < 951,46.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.1

Методом собственно случайной выборки обследована жирность "молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56.

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

Решение.

А. Формула средней ошибки выборки: .

По условию п = 100, σ² = 2,56. Отсюда

Б. Формула предельной ошибки выборки: =tμ.

По таблице значений F(t) (см. Приложение 2) при Р = 0,954 находим, что t= =2. Отсюда = 2 - 0,16 = 0,32, или = 3,64 ± 0,32, т.е. предельные значения жирности молока (или доверительный интервал генеральной средней) определяются как 3,32% 3,96%.

Задача 5.2

На основе выборочного обследования 600 рабочих (п = 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0,4 (w = 0,4).

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка (А), не превышающая 5% (0,05)?

Решение.

Чтобы определить вероятность допуска той или иной ошибки, из формулы =tμ находим показатель t, связанный с вероятностью:

По таблице значений F{t) (см. Приложение 2) для t = 2,5 находим, что Р= 0,988, т.е. с вероятностью 0,988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0,4) в общем числе рабочих допущена ошибка не более 0,05 (5%).

Задача 5.3

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случайной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью (Р), равной 0,954, можно было бы гарантировать ошибку не более 5 руб.? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение σ= 20 руб.

Решение.

Из формулы находим п:

= 64 (человека).

Примечание. В формулах для определения необходимой численности выборки, получаемых из формул случайной ошибки выборки, предполагается обязательное знание величины дисперсии признака (σ²) или [w(l — w)]. Так, для повторной выборки при определении средней , а при определении доли . Для бесповторной выборки соответственно и

Обычно в этих формулах используется значение дисперсии признака в аналогичных предшествующих исследованиях или же проводится пробное обследование небольшого числа единиц, для которых определяется значение σ². В случае изучения доли определенных единиц в совокупности при отсутствии каких-либо сведений о дисперсии принимается максимальное значение [w(l – w)], равное 0,25.

Задача 5.4

Средняя продолжительность горения, установленная путем испытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказалась равной 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч.

С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выборочной и генеральной средней) не превысит 12 ч?

Решение.

Поскольку п < 20, имеем дело с малой выборкой. Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Из формулы предельной ошибки выборки находим:

Поскольку при малой выборке вероятность наступления той или иной ошибки выборки подчиняется распределению Стьюдента и, в частности, вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле

обращаемся к соответствующей таблице, где рассчитаны вероятности S(t) (см. таблицу Приложения 3), и находим для заданных п и t (на пересечении) значение S(t), а затем уже рассчитываем 2S(t)-1. Так, в нашем примере по таблице Приложения 3 для n = 10 — 1=9 и t = 2 получаем S(t) = 0,962. Отсюда искомая вероятность допуска ошибки не более 12 ч равняется 2*0,962-1= =0,924.

(Значение п в таблице Приложения 3 принимается на единицу меньше числа наблюдений, т.е. как число степеней свободы. В нашем примере число наблюдений 10, следовательно, в таблице ищем графу с п = 9.)

Задача 5.5

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в приводимой ниже таблице:

Цех	Объем выборки, чел., п_i	Средняя заработная плата, руб.,	Среднее квадратическое отклонение, руб., σ_i

Всего		—	—

С вероятностью 0,997 (т.е. t = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

Решение.

А. Находим общую выборочную среднюю заработную плату:

(руб.)

Б. Находим среднюю из групповых дисперсий:

В. Определяем предельную ошибку выборочной средней заработной платы. Для типической бесповторной выборки

Отсюда генеральная средняя

или ,

т.е. средняя заработная плата всех рабочих находится в пределах от 880,5 руб. до 896,3 руб.

В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. И на основании сравнения двух выборочных средних (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождений. Для этого абсолютная разность показателей сопоставляется со средней ошибкой разности . Если при п > 20 результат этого соотношения t< 3, то делается вывод о случайности расхождений. Если же объем выборки мал, т.е. п 20, то полученное значение t (фактическое) сравнивают с табличным, определяемым по таблицам t-распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы и уровне значимости. И если t_факт < t_табл, расхождения можно считать случайными. (Число степеней свободы при этом определяется как п₁ + п₂ — 2.)

Задача 5.6

Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Среднедневная заработная плата мужчин оказалась равна 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 20 руб., а у женщин 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 30 руб. Определить, можно ли считать расхождение между средней дневной заработной платой мужчин и женщин случайным.

Решение.

А. Находим абсолютную разность средних:

= |830-780| =50 руб.

Б. Средняя ошибка разности

В. Находим t

Так как t > 3, то расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин нельзя считать случайным.