Доказательство слабой гипотезы гольдбаха
Свидетельство Украины № 25256 О регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N] Очевидно, что: - количество членов прогрессии равно N; - количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно: n = 0, 5 N. Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1] U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U: U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1] U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V0i + U0i = N,
где V 0 i и U 0 i - i – тые члены прогрессий V 0 и U 0. При n – четном количество членов прогрессии V 0 равно количеству членов прогрессии U 0 и равно: K = 0,5∙ n = 0,25· N. /1/ Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1] U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V3 = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N] U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
При этом: V0i + U0i = N, где V 0 i и U 0 i - i – тые члены прогрессий V 0 и U 0. При n –нечетном количество членов прогрессии V 0 равно количеству членов прогрессии U 0 и равно: К =0,5· (n +1) = 0,25·(N + 2). /2/
Количество пар чисел V 0 i + U 0 i прогрессий V 0 и U 0 равно: П =К. В общем случае обозначим: Zpv – количество простых чисел в прогрессии V 0; Zsv -- количество составных чисел в прогрессии V 0; Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U 0; Zsu -- количество составных чисел в прогрессии U 0; П s / v – количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из составных чисел прогрессии U 0 и простых чисел прогрессии V 0; П s / u – количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из составных чисел прогрессии V 0 и простых чисел прогрессии U 0; Пр -- количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из простых чисел прогрессий V 0 и U 0. Очевидно, что: П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu; /3/ Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.
Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует: -для чисел N ≤ 116: Zpv > Zsu; Zpu > Zsv; - для чисел N = 118…136: Zpv = Zsu; Zpu = Zsv; - для чисел N ≥138: Zpv < Zsu; Zpu < Zsv. Составим прогрессии V 0 и U 0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , П s / v, П s / u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V 0 и U 0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1. N =120; n =0,5 N =0,5·120 = 60 – четное число. В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V 0 i + U 0 i равно: П = К = 0,25· N =0,25∙120 =30. V 0 ={ V 01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V 02 =[ 15 17 19 21 23 ] V 03 =[ 25 27] U 0 ={ U 01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U 02 =[105 103 101 99 97 ] U 03 =[ 95 93 ] Пр * * * * * * V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53 ]
U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67 ] Пр * * * * * V 08 = [ 55 57 59 ] }. U 08 = [ 65 63 61 ] }. Пр * Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом. *- пары простых чисел. Для прогрессий V 0 и U 0 в целом имеем:
Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.
Определим разности: Rv = Zpv - Пs/v = 17 – 5 = 12; Ru = Zpu - Пs/u = 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует:
Rv =Ru = Пр = 12.
Для подпрогрессий V 01 и U 01 имеем:
Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 6 – 3 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V 02 и U 02 имеем:
Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0, Пs/v = Пs/u = 0, Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3. Для подпрогрессий V 04 и U 04 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1. Для подпрогрессий V 06 и U 06 имеем:
Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3. Для подпрогрессий V 07 и U 07 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 1 = 1. Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1. Для подпрогрессий V 08 и U 08 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0, Пs/v = Пs/u = 0, Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
ПРИМЕР 2. N =154; n =0,5 N =0,5·154= 77 – нечетное число. В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V 0 i + U 0 i равно: П = К =0,5 (n +1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39. V 0 = { V 01 = [ 1 3 5 7 9 ] V 02 = [ 11 13 15 17 19 21 23 ] » U 0 ={ U 01 = [153 151 149 147 145] U 02 = [143 141 139 137 135 133 131 ]»
Пр * * * * V 03 =[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V 04 = [ 41 43 45 47 49 51 53 ] U 03 = [129 127 125 123 121 119 117 115] U 04 =[ 113 111 109107 105 103 101 ] Пр * * * » V 05 = [55 57 59 61 63 65 67 69] V 06 = [ 71 73 ] V 07 = [ 75 77 ] }. » U 05 = [99 97 95 93 91 89 87 85] U 06 = [ 83 81 ] U 07 = [ 79 77 ] }. Пр * Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом. *- пары простых чисел. Для прогрессий V 0 и U 0 в целом имеем:
Zpv =21, Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =15, Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7, Пр = 8.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 21 – 13 = 8; Ru = Zpu - Пs/u = 15 – 7 = 8.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 8. Для подпрогрессий V 01 и U 01 имеем:
Zpv =4, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =2, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 2.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 2 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 0 = 2.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2. Для подпрогрессий V 02 и U 02 имеем:
Zpv =5, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =3, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1, Пр = 2. Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 5 – 3 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 1= 2.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2. Для подпрогрессий V 04 и U 04 имеем:
Zpv =4, Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =5, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 5 – 2 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3. Для подпрогрессий V 06 и U 06 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u, Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1. Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , П s / v, П s / u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V 0 i + U 0 i, удовлетворяющие условию:
V 0 i + U 0 i = N:
Вариант 1: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v=Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 - U02 для числа N =120);
Вариант 2: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v= Пs/u = 0 ( подпрогрессияV08 - U08 для числа N =120); Вариант 3: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u ( подпрогрессии V01 - U01, V04 - U04, V06 - U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 - U01, V06 - U06 для числа 154); Вариант 4: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =120); Вариант 5: Zpv>Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессия V02- U02 для числа N =154); Вариант 6: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V07- U07 для числа N =120); Вариант 7: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V04- U04 для числа N =154); Вариант 8: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =154). В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , П s / v, П s / u. Значения количества пар П p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П p приведены в скобках рядом с числами N): 80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22). Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П p для них. Из изложенного следует, что любое четное число N >4 равно сумме двух и более пар П p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:
6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА
Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:
М = A + B + C,
где: A, B и C – простые числа. При этом:
A ≠ B ≠ С
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим: A + B =N. Очевидно, что N – четное число. Тогда: M = N + C. Отсюда: N = M – C.
Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:
M = N + C = A + B + С, где: A, B и C – простые числа. При этом: A ≠ B ≠ С
Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик E-mail: nik_krm@mail.ru umbolic@gmail.com
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|