Доказательство слабой гипотезы гольдбаха

Свидетельство Украины № 25256

О регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

 

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

 

N = A + B,

 

где: А и В – простые числа.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:

 

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

 

Очевидно, что часть прогрессии U:

U₁ = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

 

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

 

V₁ =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

 

а часть прогрессии U:

 

U₂ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

 

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

 

V₂ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

 

Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:

 

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U₀ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

 

При этом:

 

V_0i + U_0i = N,

 

где V _{0 i} и U _{0 i} - i – тые члены прогрессий   V ₀   и   U ₀.

При n – четном количество членов прогрессии V ₀ равно количеству членов прогрессии   U ₀ и равно:

K = 0,5∙ n = 0,25· N.  /1/

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:

 

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

 

Очевидно, что часть прогрессии U:

 

U₃ = [N-1, N-3 … 0,5N]

 

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

 

V₃ = [0,5 … N-3, N-1],

 

а часть прогрессии U:

 

U₄ = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

 

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

 

V₄ = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

 

Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:

 

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U₀ = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

 

При этом:

V_0i + U_0i = N,

где V _{0 i} и U _{0 i} - i – тые члены прогрессий   V ₀   и   U ₀.

При n –нечетном количество членов прогрессии V ₀ равно количеству членов прогрессии   U ₀ и равно:

К =0,5· (n +1) = 0,25·(N + 2).         /2/

 

Количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} прогрессий V ₀   и U ₀ равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Z_pv – количество простых чисел в прогрессии V ₀;

Z_sv -- количество составных чисел в прогрессии V ₀;

Z_pu -- количество простых чисел в прогрессии U ₀;

Z_su -- количество составных чисел в прогрессии U ₀;

П _{s / v} – количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i}, состоящих из составных чисел прогрессии U ₀ и простых чисел прогрессии V ₀;

П _{s / u} – количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i}, состоящих из составных чисел прогрессии V ₀   и простых чисел прогрессии U ₀;

П_р -- количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i}, состоящих из простых чисел прогрессий V ₀ и   U ₀.

Очевидно, что:

П = К = Z_pv + Z_sv = Z_pu + Z_su;      /3/

Z_sv = K - Z_pv; Z_su= K - Z_pu.

 

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N ≤ 116: Z_pv > Z_su; Z_pu > Z_sv;

- для чисел N = 118…136: Z_pv = Z_su; Z_pu = Z_sv;

- для чисел N ≥138: Z_pv < Z_su; Z_pu < Z_sv.

Составим прогрессии V ₀   и U ₀ для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Z_pv, Z_sv, Z_pu, Z_{su ,} П _{s / v}, П _{s / u}, П_р и соотношения между ними как для прогрессий V ₀   и U ₀ в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

 

ПРИМЕР 1. N =120; n =0,5 N =0,5·120 = 60 – четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} равно:

П = К = 0,25· N =0,25∙120 =30.

V ₀ ={ V ₀₁ =[ 1 3 5  7   9   11  13 ] V ₀₂ =[ 15   17  19   21 23 ] V ₀₃ =[ 25 27]

U ₀ ={ U ₀₁ = [119 117 115 113 111 109 107 ] U ₀₂ =[105 103 101 99 97 ] U ₀₃ =[ 95 93 ]

П_р                    * *  *       *  * *  

V₀₄ = [ 29  31 ] V₀₅ = [ 33  35 ] V₀₆= [ 37 39 41  43 45 47 ] V₀₇= [ 49 51 53 ]

U₀₄= [ 91   89 ] U₀₅= [ 87  85 ] U₀₆= [ 83 81 79   77 75 73 ] U₀₇= [ 71 69 67 ]

П_р   *                 * *    *          *

V ₀₈ = [ 55  57   59 ] }.

U ₀₈ = [ 65   63   61 ] }.

П_р            *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V ₀   и U ₀ в целом имеем:

 

Z_pv =17,   Z_sv =13, Z_pv = Z_su, П_s/v =5,   П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =13,   Z_su =17, Z_pu = Z_sv, П_s/u =1,  П_р = 12.

 

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 17 – 5 = 12;

R_u = Z_pu - П_s/u = 13 – 1 = 12.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует:

 

R_v =R_u = П_р = 12.

 

Для подпрогрессий V ₀₁   и U ₀₁ имеем:

 

Z_pv =6,  Z_sv =1, Z_pv > Z_su, П_s/v =3,   П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =3,  Z_su =4, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 3.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 6 – 3 = 3;  R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

 

Для подпрогрессий V ₀₂   и U ₀₂ имеем:

 

Z_pv =3,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =0, П_s/v = П_s/u = 0,

Z_pu =3,  Z_su =2, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 3.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 3 – 0 = 3; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₄   и U ₀₄ имеем:

 

Z_pv =2,  Z_sv =0, Z_pv > Z_su, П_s/v =1, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =1,  Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 1.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 2 – 1 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Для подпрогрессий V ₀₆   и U ₀₆ имеем:

 

Z_pv =4,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =1, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =3,  Z_su =3, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 3.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 1 = 3; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₇ и U ₀₇ имеем:

 

Z_pv =1,  Z_sv =2, Z_pv = Z_su, П_s/v =0, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =2,  Z_su =1, Z_pu = Z_sv, П_s/u =1,  П_р = 1.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Для подпрогрессий V ₀₈ и U ₀₈ имеем:

 

Z_pv =1,  Z_sv =2, Z_pv < Z_su, П_s/v =0, П_s/v = П_s/u = 0,

Z_pu =1,  Z_su =2, Z_pu < Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 1.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

 

ПРИМЕР 2. N =154; n =0,5 N =0,5·154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} равно:

П = К =0,5 (n +1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V ₀ = { V ₀₁ = [ 1  3  5  7   9 ] V ₀₂ = [ 11 13   15 17 19 21 23 ] »

U ₀ ={ U ₀₁ = [153 151 149 147 145] U ₀₂ = [143 141 139 137  135 133   131 ]»

П_р            * *                       *       *

V ₀₃ =[ 25  27 29 31 33 35   37 39] V ₀₄ = [ 41  43   45   47   49  51 53 ]

U ₀₃ = [129 127 125 123 121 119 117 115] U ₀₄ =[ 113 111 109107 105 103 101 ]

П_р                                         *     *     *

» V ₀₅ = [55 57 59 61 63 65 67 69]   V ₀₆ = [ 71  73 ]   V ₀₇ = [ 75  77 ] }.

» U ₀₅ = [99 97 95 93 91 89 87 85]   U ₀₆ = [ 83   81 ]   U ₀₇ = [ 79   77 ] }.

П_р                              *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V ₀   и U ₀ в целом имеем:

 

Z_pv =21,  Z_sv =18, Z_pv < Z_su, П_s/v =13, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =15,  Z_su =24, Z_pu < Z_sv, П_s/u =7,  П_р = 8.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 21 – 13 = 8; R_u = Z_pu - П_s/u = 15 – 7 = 8.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 8.

Для подпрогрессий V ₀₁   и U ₀₁ имеем:

 

Z_pv =4,  Z_sv =1, Z_pv > Z_su, П_s/v =2, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =2,  Z_su =3, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 2.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 2 = 2; R_u = Z_pu - П_s/u = 2 – 0 = 2.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 2.

Для подпрогрессий V ₀₂   и U ₀₂ имеем:

 

Z_pv =5,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =3, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =3,  Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =1,  П_р = 2.

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 5 – 3 = 2; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 1= 2.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 2.

Для подпрогрессий V ₀₄   и U ₀₄ имеем:

 

Z_pv =4,  Z_sv =3, Z_pv > Z_su, П_s/v =1, П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =5,  Z_su =2, Z_pu > Z_sv, П_s/u =2,  П_р = 3.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 1 = 3;

R_u = Z_pu - П_s/u = 5 – 2 = 3.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₆   и U ₀₆ имеем:

 

Z_pv =2,   Z_sv =0, Z_pv > Z_su, П_s/v =1,  П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =1,   Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,  П_р = 1.

 

Определим разности:

 

R_v = Z_pv - П_s/v = 2 – 1 = 1;  R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

 

Из сравнительного анализа величин R_v, R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Z_pv, Z_sv, Z_pu, Z_{su ,} П _{s / v}, П _{s / u}, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V _{0 i} + U _{0 i}, удовлетворяющие условию:

 

V _{0 i} + U _{0 i} = N:

 

Вариант 1: Z_pv=Z_pu, Z_sv=Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v=П_s/u = 0 (подпрогрессия V₀₂ - U₀₂ для числа N =120);

Вариант 2: Z_pv=Z_pu, Z_sv=Z_su,  Z_pv<Z_su, Z_pu<Z_sv, П_s/v= П_s/u = 0 ( подпрогрессияV₀₈ - U₀₈ для числа N =120);

Вариант 3: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su,  Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v>П_s/u ( подпрогрессии V₀₁ - U₀₁, V₀₄ - U₀₄, V₀₆ - U₀₆ для числа N =120 и подпрогрессии V₀₁ - U₀₁, V₀₆ - U₀₆ для числа 154);

Вариант 4: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su, Z_pv=Z_su, Z_pu=Z_sv, П_s/v>П_s/u (прогрессия V₀- U₀ для числа N =120);

Вариант 5: Z_pv>Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v>П_s/u (подпрогрессия V₀₂- U₀₂ для числа N =154);

Вариант 6: Z_pv<Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv=Z_su, Z_pu=Z_sv, П_s/v<П_s/u (подпрогрессия V₀₇- U₀₇ для числа N =120);

Вариант 7: Z_pv<Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v<П_s/u (подпрогрессия V₀₄- U₀₄ для числа N =154);

Вариант 8: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su, Z_pv<Z_su, Z_pu<Z_sv, П_s/v>П_s/u (прогрессия V₀- U₀ для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Z_pv, Z_sv, Z_pu, Z_{su ,} П _{s / v}, П _{s / u}.

Значения количества пар П _p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П _p приведены в скобках рядом с числами N):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П _p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П _p для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N >4 равно сумме двух и более пар П _p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

 

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

 

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

 

М = A + B + C,

 

где: A, B и C – простые числа.

При этом:

 

A ≠ B ≠ С

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

 

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

 

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

 

M = N + C = A + B + С,

где: A, B и C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

 

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: [email protected]

[email protected]

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: