Задачу расчета связи между отраслями через анализ выпуска и потребления впервые проанализировал и математически описал В. Леонтьев – американский экономист российского происхождения.

Решение многих экономических задач в настоящее время связано с использованием баз данных, когда данные хранятся в матричной форме и обрабатываются специальными программами.

Математический аппарат хранения и обработки базируется на методах линейной алгебры.

Пример 1. Использование алгебры матриц

Дано: Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице 1.1

Таблица 1

Вид изделия, п/п	Количество изделий, ед.	Расход сырья, кг/изд.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Стоимость изделия, ден.ед./изд.

Определить следующие ежесуточные показатели:

- расход сырья S

- затраты рабочего времени T

- стоимость выпускаемой продукции P

Решение: Опишем задачу в матричном виде. Обозначим данные:

- первый столбец – вектор ассортимента q

q = (20, 50, 30, 40)

- второй столбец – вектор расхода сырья

s = (5, 2, 7, 4)

- третий столбец – вектор затрат рабочего времени

t = (10, 5, 15, 8)

- четвертый столбец – вектор стоимости

p = (30, 15, 45, 40)

Искомые величины:

Расход сырья S = q s = =20*5+50*2+30*7+40*4=100+100+210+160 = 570 кг.

Затраты рабочего времени T = q t =

= 20*10+ 50*5+ 30*15+40*8 =200+250+450+ 320 = 1220 ч.

Стоимость выпускаемой продукции P = q p =3500 ден. ед.

Пример 2. Использование систем линейных алгебраических уравнений.

Дано. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Характеристики производства приведены в таблице 2

Таблица 2

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции вес. ед. /изд.	Запас сырья вес. ед.

Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x₁, x₂, x₃.

Запишем систему уравнений

(1)

Решение системы (1), полученное по формуле Крамера: x₁ = 150: x₂ = 250; x₃ = 100

Опишите решение по формуле Крамера

Пример 3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Экономика межотраслевого хозяйства требует баланса между отраслями, т.к. каждая отрасль является как потребителем, так и производителем.

Задачу расчета связи между отраслями через анализ выпуска и потребления впервые проанализировал и математически описал В. Леонтьев – американский экономист российского происхождения.

В. Леонтьев предложил линейную матричную модель многоотраслевой экономики, разработал т.н. продуктивные модели, позволяющие анализировать и оптимизировать межотраслевые связи.

Для дальнейшего изложения введем обозначения:

· Вектор - вектор валового выпуска,

x_i – валовый выпуск i– той продукции

· Вектор - вектор конечного потребления,

· y_i – объем продукции i– той отрасли, предназначенной для реализации

· A матрица прямых затрат

·

· где a_i,j = x_i,j/x_i – коэффициент прямых затрат, x_i,j – объем продукции i –ой отрасли, потребляемой j – ой отраслью при производстве объема продукции x_j

· уравнения (соотношения) баланса, смысл которых в том, что валовый выпуск i – отрасли равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В случае линейной модели балансовый принцип имеет вид

x_i = x_i,1 + x_i,2 +,,. + x_i,n + y_i

· Уравнение линейного многоотраслевого баланса (модель Леонтьева).

Линейная модель Леонтьева, записанная в матричной форме, имеет вид:

(*)

Важно понимать и помнить, что все элементы неотрицательны.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны называется продуктивной, а модель Леонтьева - продуктивной.

Уравнение межотраслевого баланса (*) применяют в двух случаях:

1) Даны матрица A, вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

2) При решении задач планирования: известны матрица A, вектор конечного потребления . Требуется определить вектор валового выпуска . В этом случае задача (*) приводится к виду (**)

или (***)

Матрица называется матрицей полных затрат.

Система (**) является системой линейных алгебраических уравнений и может быть решена одним из известных способов – методом Крамера или Гаусса.

Пример 4. Таблица 4 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти валового выпуска каждого вида продукции, если конечный продукт по отраслям увеличить, соответственно, до 60, 70, 30 условных единиц.

Таблица 4.Исходные данные

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
	Добыча и переработка углеводов Энергетика Машиностроение

Решение. Запишем данные таблицы 4 в матричной форме

Валовый выпуск

Конечный продукт

Матрица прямых затрат

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: