Позиционные системы счисления

Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счис­ления. Привычной для всех является десятичная система счис­ления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующие числа (начиная с 10 и т. л.) обозна­чаются уже без использования новых знаков (цифр). Тем са­мым сделан важный шаг в построении системы счисления: зна­чение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа

Таким образом, система называется позиционной, если зна­чение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображаю­щих число. Если это условие не выполняется, то система счис­ления является непозиционной (например, римская).

Десятичная позиционная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Например, в зависимости числа 343.32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 10²); цифра 3, стоящая перед точкой, означает количество единиц (ее вес равен 10³), а самая правая цифра 3 (после точки) — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1), так что последова­тельность цифр 343.32 представляет собой сокращенную за­пись выражения:

(1.5)

Десятичная запись любого числа X в виде последователь­ности цифр:

(1.6)

основана на представлении этого числа в виде полинома:

(1.7)

где каждый коэффициент а_i может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки. Запись числа X в виде (1.7) представляет собой просто перечисление всех коэффициентов этого полинома. Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием позиционнойсистемы, а сама система счисления называется К-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления явля­ется число 10; двоичной — число 2; троичной — число 3 и т. д. Для записи произвольного числа в К-ичной системе счисления достаточно иметь К разных цифр i = 1,.... К. Например, в троичной системе счисления любое число может быть выра­жено посредством цифр 0, 1, 2. Эти цифры служат для обо­значения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.

Числа можно записать как суммы степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего едини­цы. Например, в Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а ми­нуты — на 60 секунд заимствовано именно из этой системы счисления. А то, что человечество выбрало в качестве основа­ния системы счисления число 10, вероятно, связано с тем, что природа наделила людей десятью пальцами.

Запись произвольного чиста X в К-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

(1.8)

где каждый коэффициент а_i может быть одним из базисных чи­сел и изображается одной цифрой. Как и в десятичной системе счисления, число Х, представленное в К-ичной системе счисле­ния, можно кратко записать в виде (1.7) путем перечисления всех коэффициентов полинома (1.8) с указанием позиционной точки. Последовательность цифр, стоявшая в (1.8) является изображением числа X в К-ичной системе счисления. Базисные числа должны быть выбраны так, чтобы любое число Х могло быть представлено в виде полинома (1.8). Обычно в качестве базисных чисел берутся последовательные целые чиста от 0 до К - 1 включительно.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же принципам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и ум­ножения, которые имеют место при данном основании К системы счисления.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса при нем, напри­мер: 35.64₈, 11110₂, 50,3₁₀.