Дробный факторный эксперимент

Оценки коэффициентов функции отклика

С помощью матрицы планирования, описанной в табл. 3.1, можно вычислить оценки коэффициентов неполного полинома третьей степени

y^' = b₀ + b₁ x ₁ + b₂ x ₂ +b х ₃ +b₁₂ x ₁ x ₂ +b₁₃ x ₁ x ₃ + b₂₃ x ₂ x ₃ + b₁₂₃ x ₁ x ₂ х ₃

или линейной функции

y^' = b₀ + b₁ x ₁ + b₂ x ₂ +b₃ х ₃.

Первый вид полинома позволяет оценить не только влияние отдельных факторов, но и один из часто встречающихся видов нелинейности, когда эффект одного фактора зависит от уровня других факторов, т.е. присутствует эффект взаимодействия факторов. Эффект взаимодействия вида x_i x_j называют парным, x_i x_j x_k – тройным и т. д. С ростом количества факторов число возможных взаимодействий быстро увеличивается. Суммарно количество всех коэффициентов функции отклика такого типа равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Оценки коэффициентов полинома определяются на основе метода наименьших квадратов и для рассматриваемого типа ПФЭ вычисляются по простым соотношениям [8, стр. 29]

Здесь величина y соответствует значению отклика в указанной точке факторного пространства при отсутствии повторных опытов или является оценкой математического ожидания значений функции отклика по всем r_u повторным опытам в данной точке. Повторные опыты проводятся в тех случаях, когда на функционирование системы оказывают влияние случайные воздействия. Количество повторных опытов в разных точках плана может различаться.

Допустима следующая интерпретация оценок коэффициентов:

b₀ соответствует значению функции отклика в центре проводимого эксперимента;

b _i равен приращению функции при переходе значения фактора i с нулевого уровня на верхний (это вклад соответствующего фактора в значение функции);

b _ij равен нелинейной части приращения функции при одновременном переходе факторов i и j с нулевого уровня на верхний и т.п.

Ошибки в определении коэффициентов полинома можно охарактеризовать соответствующей дисперсией. С учетом того, что кодированные значения факторов принимают значения +1 и ­– 1, оценка дисперсии коэффициента определяется соотношением

Следовательно, оценка дисперсии всех коэффициентов одинакова и определяется только дисперсией средних значений функции отклика и числом опытов. Эту формулу можно применять, если количество опытов во всех точках плана одинаково. При факторном эксперименте, в отличие от классического, одновременно варьируются все факторы, поэтому каждый коэффициент полинома определяется по результатам всех экспериментов, тем самым оценка дисперсии коэффициентов получается в N раз меньше средней дисперсии всех опытов. Оценка дисперсии среднего значения в конкретной точке плана

,

где s _u ² – оценка дисперсии функции отклика в точке u, r_u – число повторных опытов в этой точке плана [7, стр. 50]. Дисперсия оценок всех коэффициентов одинакова, поэтому ПФЭ рассмотренного типа являются ротатабельным.

При использовании неполных полиномов k- го порядка количество точек плана равно количеству оцениваемых параметров (насыщенное планирование). Поэтому не остается степеней свободы для проверки гипотезы об адекватности представления результатов эксперимента заданной математической моделью. Если применять полиномы первой степени, то тогда остаются степени свободы для проверки гипотезы об адекватности модели.

Дробный факторный эксперимент

С ростом количества факторов k число точек плана в ПФЭ растет по показательной функции 2 ^k. Планы ПФЭ позволяют получить несмещенные оценки градиента функции отклика в центральной точке, но в случае применения линейного полинома оказываются недостаточно эффективными по количеству опытов при большом числе независимых переменных, так как остается слишком много степеней свободы на проверку адекватности модели. Например, при k = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней. Хотя большое количество опытов и приводит к существенному снижению погрешности в оценке коэффициентов, все же такое число степеней свободы для проверки адекватности является чрезмерным.

Таким образом, в случаях, когда используются только линейные приближения функции отклика, количество опытов следует сократить, используя для планирования так называемые регулярные дробные реплики от ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования. Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик 2 ^{k – 1}, 2 ^{k –2} соответственно.

Построение регулярной дробной реплики или проведение дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2 ^{k – p} предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k – p определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Иначе говоря, в дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Но именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Таблица 3.2

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана. Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2 ^{k – p} должно быть задано p различных генераторов). Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования. Примером записи генератора для плана 2^3–1 служит выражение x ₃ = x ₁ x ₂, табл. 3.2. Матрица планирования ДФП типа 2 ^{k – p} содержит k + 1 столбец и N = 2 ^{k – p} строк.