Синтез решетчатого фильтра

Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов

Достоинства решетчатых фильтров

 

Построение АР модели или синтез АР фильтра требуют вычисления коэффициентов АР. Для этого необходимо обращать корреляционную матрицу, а эта операция, как правило, сопряжена с большим объемом вычислений.

Поиски эффективных алгоритмов вычисления коэффициентов АР привели к синтезу решетчатых структур. Решетчатые структуры могут быть реализованы в виде решетчатых фильтров (РФ). Параметрами РФ являются коэффициенты отражения и число звеньев фильтра. Коэффициенты отражения однозначно связаны нелинейными соотношениями с параметрами АР и определяются, в конечном счете, корреляционной функцией случайного процесса. Число звеньев РФ равно порядку АР модели. РФ, также как и АР фильтры, являются фильтрами предсказания, минимизирующими дисперсию ошибки предсказания.

Несмотря на то, что АР фильтры и РФ математически эквивалентны, между ними существует ряд различий, существенных с практической точки зрения. При цифровой реализации фильтров особое значение играет шум округления. Его появление связано с тем, что значения величин приходится представлять конечным числом разрядов. Как показывает опыт, в этом отношении РФ более эффективны. Объясняется это тем, что ошибки округления (i-1) – го звена в РФ частично компенсируются в i-м звене РФ, чего нет в АР фильтрах.

Другим существенным свойством цифровых фильтров является их чувствительность к квантованной форме представления параметров фильтра. Поэтому, естественно, возникает вопрос: насколько сильно зависят характеристики фильтра от отклонения величин параметров? Доказано, что РФ менее чувствительны к погрешностям квантования параметров по сравнению с фильтрами прямой реализации.

При синтезе РФ, состоящего из p звеньев, используются те же коэффициенты отражения, что и у (p-1) – звенного фильтра. В АР фильтре при увеличении числа звеньев фильтра приходится заново пересчитывать все коэффициенты АР фильтра. Следовательно, использование РФ для обработки случайных сигналов имеет ряд преимуществ, по сравнению с АР фильтрами.

Синтез решетчатого фильтра

 

Несмотря на близость РФ и АР фильтров, использование РФ требует введения новых понятий и соотношений, на основе которых выводится структура РФ. Прежде всего, необходимо остановиться на выводе рекуррентных соотношений, которые носят название алгоритма Левинсона-Дарбина. Алгоритм позволяет вычислять для р-го порядка коэффициенты АР и отражения РФ по найденным коэффициентам АР модели сигнала 1…р порядков.

По аналогии с фильтром прямого предсказания для сигнала, описываемого моделью АР р-го порядка, можно ввести фильтр обратного предсказания, описываемый выражением

 

, (1)

 

где  – коэффициенты фильтра обратного предсказания, состоящего из р звеньев,  – ошибка обратного предсказания на выходе р-го звена фильтра. Уравнение описывает регрессию значения случайного процесса  на последующие .

Значения коэффициентов фильтра обратного предсказания находятся с помощью системы уравнений, аналогичной системе уравнений Юла-Уокера можно представить обобщенные уравнения Юла-Уокера в матричном виде

, (2)

 

где -квадрат СКО, равный дисперсии ошибки прямого предсказания, R_p – корреляционная матрица (p+1) – го порядка

 

.  (3)

 

Чтобы не выходить за рамки общепринятых в теории решетчатых фильтров обозначений, в дальнейшем изложении будет использоваться замена и .

Умножив левую и правую части уравнения на , и усреднив, легко получить уравнение Юла-Уокера для фильтра обратного предсказания, аналогичное (3)

 

, (4)

 

где  – дисперсия ошибки обратного предсказания на выходе p-го звена фильтра обратного предсказания. Объединив матричные уравнения (2) и (4) можно записать общее уравнение

 

. (5)

 

Очевидно, что для (р+1) – звенного фильтра должно так же выполняться соотношение типа

. (6)

 

От матричного уравнения (5) можно перейти к матричному уравнению (6) лишь в том случае, если коэффициенты фильтров прямого и обратного предсказания p-го порядка связаны с коэффициентами фильтра (p+1) – го порядка следующим образом

 

, (7)

 

где - некоторые, так называемые, коэффициенты отражения. Умножив справа левую и правую части матричного уравнения (7), на корреляционную матрицу  можно показать, что коэффициенты отражения удовлетворяют соотношениям

 

, (8а)

. (8б)

 

Величины, входящие в соотношения (8а) и (8б), описываемые выражениями

 

, (9а)

, (9б)

как будет показано ниже, интерпретируются как взаимная корреляция ошибок прямого и обратного предсказания при единичной задержке. Для скалярного случая справедливы равенства

 

. (10)

 

Используя соотношения (8а), (8б) и учитывая (7), алгоритм Левинсона-Дарбина, позволяющий вычислять коэффициенты АР по коэффициентам отражения, можно представить в виде

 

    (11)

, (12)

,  (13)

 

с инициацией

 

, . (14)

 

Найденный алгоритм Левинсона-Дарбина позволяет получить структуру РФ. Формулы дают выражение

 

, (15)

 

которое с помощью (4) и учетом (15) для р -го звена приводится к виду

.                    (16)

 

Аналогично можно найти выражение для ошибки обратного предсказания в р звене

 

.          (17)

 

Полученные выражения (16) и (17) дают возможность представить структуру РФ в виде, изображенном на рисунке 1.

 

Рисунок 1. Обеляющий РФ

 

При поступлении сигнала на вход фильтра на выходе каждого звена фильтра появятся ошибки предсказания вперед и назад. Как видно из рисунка 3 ошибки предсказания вперед и назад связаны друг с другом соотношениями (14) и (15).

Можно показать, используя соотношение (17), что решение задачи минимизации дисперсии ошибки предсказания относительно коэффициента отражения К_p дает следующее выражение для коэффициента отражения

. (18)

 

К этому же соотношению можно придти путем несложных преобразований выражений (14) и (15). Таким образом, РФ, коэффициенты отражения которого определяются алгоритмом Левинсона-Дарбина, минимизирует дисперсию ошибки предсказания. Выражение (18) дает удобную оценку коэффициентов отражения РФ, позволяющее обновлять их при адаптации фильтра.

Из рисунка 1 видно, что текущий отсчет случайного процесса можно представить в виде

 

, , (19)

 

т.е. взвешенным суммированием ошибок обратного предсказания в предшествующий момент времени с коэффициентами веса, равными коэффициентам отражения. Случайная величина х_t, представленная в виде (19), полностью определяется коэффициентами веса, роль которых играют коэффициенты отражения. Таким образом, коэффициенты отражения полностью характеризуют случайный процесс в рамках модели АР. Это свойство коэффициентов отражения РФ позволяет использовать их в качестве информативного признака при распознавании и спектральном оценивании.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: