Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу! Архитектура Биология География Искусство История Информатика Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Политика Правоотношение Разное Социология Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника Определить форму сложного высказывания Стр 1 из 2Следующая ⇒ Таблица истинности А B A L B

Пересечение множеств

А - множество отличников в классе В - множество спортсменов в классе А L В - множество отличников, занимающихся спортом

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ)

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ.

Примеры

Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано).

Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона.

Студент едет в электричке или читает книгу.

Обозначается:

А или В; А OR В; А | В; А V В

ПРИМЕРЫ: Допустим, из моего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: “Мерседес” и “Жигули”, но может находиться и какая-то одна из них, или не быть ни одной. Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит "Мерседес"

В = На автостоянке стоят "Жигули"

А дизъюнкция В = На автостоянке стоят "Мерседес" или "Жигули"

Из таблицы истинности следует, что операция дизъюнкции ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции логического умножения.

Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что Вы заметили:

0 + 0 = 0,

0 + 1= 1,

1 + 0 = 1,

но в логике: 1 V 1 = 1.

Таблица истинности А B A V B

Объединение множеств

А - множество отличников в классе В - множество спортсменов в классе А È В - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ)

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи "ЕСЛИ..., ТО... "

ПРИМЕРЫ

Если клятва дана, то она должна выполняться.

Если число делится на 9, то оно делится на 3.

Исторически операция импликации была введена для полноты системы логических функций двух переменных, поэтому в логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. Приведем примеры, которые не только правомерно рассматривать в логике, но при этом значение их истинно.

Если коровы летают, то 2 + 2 = 5

Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Импликация обозначается: А В;

Говорят: "Если А, то В", "А имплицирует В", "А влечет В", "В следует из А".

Из таблицы истинности видно, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ)

Образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи "... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...".

ПРИМЕРЫ

“Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 градусов”

“Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются”

“Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда внешнее воздействие не изменит этого состояния” (Первый закон Ньютона).

“Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает” (Шутка)

Все законы математики, физики, все определения - суть эквивалентность высказываний.

Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В

ПРИМЕР. Пусть даны два высказывания:

А = “Число делится на 3 без остатка (кратно трём)”

В = “Сумма цифр числа делится нацело на 3".

А эквивалентно В = "Число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр данного числа делится нацело на 3".

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна, тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

Логические функции

· логика, как наука;

· алгебра высказываний;

· логические операции;

· логические функции;

· приоритет логических операций;

· тождественно истинные и тождественно ложные операции;

· основные законы алгебры логики;

· доказательство логических законов;

· простейшие преобразователи информации;

· домашнее задание.

В формулах алгебры логики используются только логические переменные. Логические связки (И, ИЛИ) обозначают логические операции. Каждая формула задает логическую функцию, которая сама может принимать только одно из двух логических значений (0 или 1). То есть вместо выражения Е = А V В можно написать F(A,B) = A V B и рассматривать его как функцию двух переменных.

Мы рассмотрели основные логические операции двух переменных. Сколько же всего может быть различных логических (т.е. двузначных) функций от двух переменных? Попробуем ответить на этот вопрос.

Две переменные, каждая из которых может быть либо нулём, либо единицей, образуют 2²= 4 различных набора значений: (0,0); (0,1); (1,0); (1,1). Для каждого набора сама функция может принять значение либо 0, либо 1. Например, F(0,0)=1; F(0,1)=1; F(1,0)=0; F(1,1)=0. Тогда всего различных функций двух переменных будет шестнадцать (4²=16).

Из таблицы видно, что каждой функции соответствует её отрицание (константа 1 - отрицание константы 0).

Функцию можно задавать как в виде формулы, так и в табличном виде. Переход от табличного задания к булевой формуле всегда возможен.

Сводная таблица логических функций двух переменных

СЛОЖНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.

Мы всегда исходим из того, что для любого простого высказывания определено (известно), является ли оно истинным или ложным. По форме сложного высказывания и по таблицам истинности входящих в него логических операций всегда можно определить, истинное оно или ложное.

Реальную задачу, как правило, мы получаем в виде текста на естественном языке. И прежде, чем приступить к ее решению, мы должны выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму). Разберём примеры формализации сложных высказываний.

Определить форму сложного высказывания

Пример 1. Е = " Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным"
Составляющие высказывания:
А = " Ваш приезд необходим ";
В = " Ваш приезд желателен "

Ответ: E= не(A) & не(B)

Пример 2. Е = " Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал"
Составляющие высказывания:
А = "Поиски врага длились три часа"
В = "Врага нашли (результат есть)"
С = "Враг себя выдал".
Ответ: E= не(C) → A & не(B)

Пример 3. E = " Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце"
А = "Вчера было пасмурно";
В = "Сегодня ярко светит солнце"

Ответ: Е = А → B