Освоение методов проведения измерений и расчета их погрешностей

Цель работы: ознакомление с методами оценки результатов измерений и расчета погрешностей.

Оборудование: установка для определения удельного сопротивления проволоки.

 

Теоретическое введение

Электрическое сопротивление участка проводника

R = rL/S

где R - сопротивление отрезка проволоки, L - его длина, S - площадь поперечного сечения, r - удельное сопротивление материала проволоки. Отсюда

r = RS/L (1)

Чтобы определить r, необходимо измерить электрическое сопротивление R отрезка

проволоки, длину отрезка L и определить площадь его

сечения S.

Для измерения сопротивления собирают простейшую

электрическую цепь (рис.1). Участок цепи АВ – отрезок

проволоки, Е - источник тока, А - амперметр, V - вольт-

метр.

Допустим, что мы провели такой опыт: собрали цепь,

как на рис.1, измерили напряжение U и силу тока I. За-

тем измерили длину отрезка проволоки L и ее диаметр d.

При этом, например, оказалось: U = 1 В, I = 0,1 А, L =

= 0,4 м, d = 5×10^{-4 м. Подставим эти данные в (1):}

Рис.1.

r =(U/I)×pd²/(4L) (2)

 

Численное значение можно вычислить по формуле (2) непосредственно расчетом, а можно на микрокалькуляторе. Во втором случае расчет проводить, безусловно, проще, и большинство студентов так и поступает. Поступим так же и мы. В результате получим: r = 4,9087384××10^-6 Ом×м.

Уже с первого взгляда на это число возникает уверенность, здесь что-то не так.

Слишком много цифр! Ясно, что не все цифры имеют отношение к делу. Они возникли как результат вычисления. Действительно, при вычислении по формуле (2) на калькуляторе мы вызвали число p = 3,1415926 и далее проделали все необходимые арифметические действия. Если воспользоваться ЭВМ, то число p можно взять еще точнее, тогда очевидно, что определяемое значение r будет содержать еще больше знаков после запятой.

Сколько же цифр в числовом значении r имеют смысл? Разберемся в этом вопросе.

Напряжение U, силу тока I, длину L отрезка проволоки и ее диаметр d мы измеряем соответствующими приборами с определенной точностью. Когда мы говорим, что вольтметр показывает 1 В, мы, конечно, имеем в виду, что измеряемое напряжение лишь приблизительно равно 1 В. Истинное значение U напряжения лежит в некотором интервале

U_изм - D U £ U £ U_изм + D U

где U_изм - измеренное напряжение; в нашем примере U_изм = 1 В. Значит, результат измерения есть то деление на шкале вольтметра, против или вблизи которого установилась стрелка, D U - погрешность измерения напряжения данным вольтметром, она определяется классом точности прибора. Класс точности указывается рядом со шкалой прибора (иногда обводится кружочком). Если, например, шкала нашего вольтметра рассчитана на 2 В (максимальное напряжение, которое можно измерить данным вольтметром) и его класс точности равен 1.5, то, по определению, погрешность показания вольтметра не меньше, чем 1.5 % от 2 В, т.е.

D U = 2× 1,5/100 = 0,03 (В)

Таким образом, истинное значение U лежит между 0,97 В и 1,03 В:

0,97 В £ U £ 1,03 В

или (в более удобном виде)

U = U_изм ± D U; U = (1, 00 ± 0,03) В

Примечание: В тех случаях, когда класс точности измерительного прибора не указан, в качестве погрешности измеренной величины можно взять половину цены наименьшего деления шкалы прибора, так как, обычно деления шкалы наносятся так, чтобы половина цены наименьшего деления примерно как раз равнялась погрешности прибора, рассчитанной по классу точности прибора.

Все это, разумеется, относится и к измеряемой силе тока I. Если амперметр показывает 100 мА = 0,1 А, класс точности амперметра, предположим, равен 2.0, шкала прибора рассчитана на 300 мА, то:

I = (100 ± 6) мА

т.е погрешность измеренного значения силы тока будет составлять величину

DI = 6 мА = 6×10^-3 А.

Если длина отрезка проволоки измеряется линейкой с миллиметровой шкалой, то истинное значение длины L проволоки лежит в интервале

(400,0 - 0,5) мм £ L £ (400,0 + 0,5) мм,

т.е. L = L_изм ± D L = (400,0 ± 0,5) мм = (0,4000 ± 0,0005) м.

Диаметр d проволоки можно измерить штангенциркулем или микрометром. Если диаметр проволоки измерять штангенциркулем в различных местах, то скорее всего окажется, что результат везде одинаков. Штангенциркуль не “почувствует”, что толщина проволоки неодинакова по всей ее длине. В этом случае точность измерения штангенциркулем, а это обычно 0,05 мм (половина цены наименьшего деления шкалы штангенциркуля), и определяет погрешность измерения диаметра, т.е.

d = (0,50 ± 0,05) мм = (0,50 ± 0,05) ×10^{-3 м}

Микрометр - более чувствительный и более точный прибор, чем штангенциркуль. Если измерить диаметр проволоки в различных местах микрометром, то можно получить серию результатов: d₁, d_2, d₃,..., d_n, где d₁ - результат первого измерения, d₂ - второго и т.д. Диаметр проволоки есть случайная величина, она варьирует около некоторого среднего значения:

d_ср = (d₁ + d₂ +...+ d_n)/n (3)

В этом случае погрешность определяется уже не только точностью прибора (микрометра), но и случайным характером самой величины d:

Dd = (Dd²_приб + Dd²_случ)^1/2 (4)

где приборная погрешность микрометра равна половине цены наименьшего деления Dd_приб = 0,005 мм, а случайная погрешность измеряемой величины

Dd_случ = ((Dd₁² + Dd₂² +... + Dd_i² +... + Dd_n²)/(n(n - 1)))^1/2 (5)

где Dd_i = d_i - d_ср (i = 1,2,...,n)

Пусть, например, мы измерили толщину проволоки микрометром в семи местах и получили такие данные:

d₁ = 0,50 мм, d₂ = 0,50 мм, d₃ = 0,48 мм, d₄ = 0,49 мм, d₅ = 0,51 мм, d₆ = 0,47 мм, d₇ = = 0,52 мм

Среднее значение равно: d_ср = 0,4957 мм

Случайная погрешность равна: Dd_случ = 0,0054 мм

Погрешность диаметра, учитывающая и приборную, и случайную погрешности, равна:

Dd = (Dd²_приб + Dd²_случ)^1/2 = 0,008 мм

(величину следует округлять в большую сторону до одной значащей цифры).

Тогда истинное значение диаметра проволоки лежит в интервале:

0,496 мм - 0,008 мм £ d £ 0,496 мм + 0,008 мм

или d = (0,496 ± 0,008) мм

Примечание. Обратите внимание на форму записи: среднее значение d_ср округлено до тысячных долей мм, потому что погрешность Dd составляет тысячные доли мм. Следовательно, десятитысячные, стотысячные и т.д. уже не имеют практической ценности (при выполнении данной работы не требуется измерять толщину проволоки штангенциркулем или микрометром т.к. уже измеренное значение с погрешностью находится на приборе).

Итак, в формуле (2) нам известны средние значения напряжения, силы тока, длины и толщины диаметра проволоки, а также погрешности этих измеренных величин. Подставляя в формулу (2) средние значения напряжения, силы тока, длины и толщины диаметра проволоки, мы вычисляем среднее значение удельного сопротивления проволоки r_ср. С какой точностью мы будем знать это значение?

Погрешность вычисляемого значения r_ср зависит от того, насколько точно мы знаем измеренные величины, входящие в формулу (2), то есть от погрешностей DU,DI,DL и Dd.

С математической точки зрения эту проблему можно сформулировать так: пусть имеется функция y(x₁, x₂,..., x_n), зависящая от n аргументов x₁, x₂,..., x_n. Если они будут меняться в пределах Dx₁, Dx₂,..., Dx_n, то в каких пределах будет меняться значение функции y? (Чему равно приращение функции Dy, если аргументы получат приращения Dx₁, Dx₂,..., Dx_n?).

С точностью до величин второго порядка малости:

Dy = ((y`<sub>x1</sub>×Dx<sub>1</sub>) <sup>2</sup> +(y`_x2×Dx₂)² +... + (y`_xn×Dx_n)²)^1/2 (6)

где y^`_xi - частная производная функции y(x₁, x₂,..., x_n) по аргументу x_i. Частная производная функции по аргументу x_i показывает, какое приращение получает функция при изменении только одного аргумента x_i. При вычислении частной производной по x_i остальные аргументы считаются как постоянные величины.

Например, если w(x,y,z) = xyz + x + y/z², то

w`<sub>x</sub> = yz + 1 w`_y = xz + 1/z² w`_z = xy - 2y/z³

В нашем случае

r =(U/I)×pd²/(4L)

Частные производные равны:

r`<sub>U</sub> =(1/I)×pd<sup>2</sup>/(4L) r`_I =(-U/I²)×pd²/(4L)

r`<sub>d</sub> =(U/I)×p2d/(4L) r`_L =(U/I)×pd²/(- 4L²)

Тогда погрешность значения удельного сопротивления будет равна:

Dr =(((1/I)×pd²/(4L) ×DU)² + ((-U/I²)×pd²/(4L) ×DI)² +

+ ((U/I)×p2d/(4L) ×Dd)² + ((U/I)×pd²/(- 4L²) ×DL)²)^1/2

или Dr = (U/I)×pd²/(4L)((DU/U)² +(DI/I)² +(2Dd/d)² +(DL/L)²)^1/2 (7)

или Dr/r =((DU/U)² +(DI/I)² +(2Dd/d)² +(DL/L)²)^1/2

В нашем примере:

U = 1,00 B DU = 0,03 B

I = 0,1 A DI = 6×10^{-3 A}

d = 0,496 м Dd = 0,008 м

L = 0,4 м DL = 5×10^{-4 м}

Подставив эти значения, до округления получим:

Dr =(2,1×10^-16 + 8,4×10^-14 + 2,4×10^-14 + 3,6×10^-17)^1/2 = 0,329×10^-6 Ом×м

(Обратите внимание на то, измерения каких величин дают наибольший вклад в погрешность результата).

Значение погрешности округляем до одной значащей цифры:

Dr = 0,3×10^-6 Ом×м

Значение самой величины r = 4,830513×10^-6 Ом×м. Очевидно, что все цифры после запятой, начиная с сотых долей, уже не имеют практической ценности. Поэтому округлим результат до того знака, который уже получается с погрешностью:

r = 4,8×10^-6 Ом×м

Итак, окончательно, получаем результат в виде:

r = (4,8 ± 0,3)×10^-6 Ом×м

Методика измерений.

Проверим, выполняется ли в условиях опыта соотношение (1), устанавливающее зависимость между сопротивлением R проволоки, ее длиной L и удельным сопротивлением r, т.е. однородна ли проволока по составу по всей длине (r = const). Здесь мы будем считать, что площадь поперечного сечения S (или диаметр d) проволоки одинакова по всей ее длине (при наличии микрометра это можно проверить непосредственными измерениями), разумеется, с некоторой погрешностью.

Если выполняется условие постоянства r и d (или S), то и отношение r/S = const. т.е.

R = (r/S) L = const × L (8)

Таким образом, сопротивление участка проволоки должно быть прямо пропорционально его длине L.

Экспериментальное определение зависимости R от L проводится так: измеряют величину сопротивления проволоки при различных значениях L в интервале от L = L_o до L_min = (0,2 ¸ 0,3) L_o, где L_o - полная длина проволоки.

Затем по результатам измерений строят график зависимости R от L.

Если в пределах точности измерений найденные экспериментальные точки “ложатся” на прямую, то это подтверждает справедливость соотношения (8). Тогда для определения r можно пользоваться формулой (1).

Результат измерений записывается в виде

r = r_ср ± Dr (единицы измерения:Омּм)

 

Задание

1. Запишите значение диаметра проволоки, используемой в данной работе; это значение указано на панели прибора.

2. Определите экспериментально зависимость сопротивления R проволоки от ее длины L. Измерения проведите для десяти значений длины L от L» 0,3L₀ до L» L₀, где L₀ – полная длина проволоки. Результат измерений запишите в табл. 1. Погрешности DU и DI определите по классу точности вольтметра и амперметра. Вычислите погрешность Dr_случ (по аналогии с формулой (5)), обусловленную “разбросом” полученных значений r_i. Оцените погрешность Dr_приб (по формуле (7)), обусловленную несовершенством использованных измерительных приборов (это можно сделать только для одного из измерений). Сравните эти две погрешности по порядку величины. По аналогии с формулой (4) вычислите Dr_ср и занесите в таблицу 1. Экспериментальные точки

 

Таблица 1.

Li,м	DL, м	Ui, В	DU, В	Ii, А	DI, А	d, м	Dd, м	ri, Ом×м	rср, Ом×м	Drср, Ом×м

нанесите на координатную плоскость, откладывая по оси Х величину L, а по оси Y – соответствующее ей сопротивление R = U/I. Каждую экспериментальную точку следует изображать с указанием погрешностей DL и DR, т.е. в виде пересечения двух отрезков: вдоль оси Х длиной 2DL с центром в точке L_i и вдоль оси Y длиной 2DR c центром в точке R_i. Убедитесь в том, что в пределах точности измерений экспериментальные точки ложатся на прямую, как это

показано, например, на рис. 2.

 

 

 

Рис.2

Контрольные вопросы.

1. Имеется цилиндр радиусом R и длиной L. При измерении штангенциркулем оказалось, что R = 55,3 мм, L = 63,5 мм. Оцените относительную погрешность, с которой можно вычислить объем цилиндра.

2. На установке возможны две электрические схемы включения амперметра и вольтметра. Какова систематическая погрешность измерения удельного сопротивления для каждой из схем?

Примечание: Используя экспериментальные точки на графике рис. 2, можно быстро и надежно определить среднее значение удельного сопротивления и погрешность определения с помощью метода наименьших квадратов. По возможности используйте этот метод и сравните полученные результаты.

Ход работы.

1.

Диаметр проволоки d=(0.35±0.02)мм.

Таблица 1.

Li (мм)	DL (мм)	Ui (В)	DU (В)	Ii (mA)	DI (mA)	d (мм)	Dd (мм)	rср (10-6)	Drср (10-6)
	0.5	0.2	0.02		3.75	0.34	0.01	1.2	0,3
	0.5	0.35	0.02		3.75	0.34	0.01	1.0	0,2
	0.5	0.5	0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,2
	0.5	0.6	0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,2
	0.5	0.7	0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,2
	0.5	0.85	0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,1
	0.5		0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,1
	0.5	1.15	0.02		3.75	0.34	0.01	1.2	0,1
	0.5	1.25	0.02		3.75	0.34	0.01 .	1.1	0,1
	0.5	1.4	0.02		3.75	0.34	0.01	1.1	0,1

 

Проверим, выполняется ли в условиях опыта соотношение (1), устанавливающее зависимость между сопротивлением R проволоки, ее длиной L и удельным сопротивлением r, т.е. однородна ли проволока по составу по всей длине (r = const). Здесь мы будем считать, что площадь поперечного сечения S (или диаметр d) проволоки одинакова по всей ее длине (при наличии микрометра это можно проверить непосредственными измерениями), разумеется, с некоторой погрешностью.

Если выполняется условие постоянства r и d (или S), то и отношение r/S = const. т.е.

R = (r/S) L = const× L (8)

 

Таким образом, сопротивление участка проволоки должно быть прямо пропорционально его длине L.

 

Таблица 2

N
R(ом)	0,9	1,8	2.7	3,5	4.4	5.3	6.2	7.0	8.0	8.8

 

 

 

 

Вывод:

Ознакомились с методами измерений и оценками результатов измерений. Вычислили их погрешности. Построили график зависимости R от L, определили, чему соответствует r.

Ход работы (2 вариант)

 

Таблица 1.

Li,м	DL, м	Ui, В	DU, В	Ii, А	DI,А	d, мм	Dd, мм	ri, Ом×м	rср, Ом×м	Drср, Ом×м
0,05	0,275	0,07	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,3470	1,1155	0,3
0,10	0,275	0,12	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,1154	1,1155	0,3
0,15	0,275	0,17	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0904	1,1155	0,3
0,20	0,275	0,23	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,1064	1,1155	0,3
0,25	0,275	0,28	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0776	1,1155	0,3
0,30	0,275	0,34	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0904	1,1155	0,3
0,35	0,275	0,40	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0996	1,1155	0,3
0,40	0,275	0,45	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0824	1,1155	0,3
0,45	0,275	0,50	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0690	1,1155	0,3
0,50	0,275	0,56	0,312	0,1	0,1	0,35	0,02	1,0776	1,1155	0,3

Таким образом вычислили среднее сопротивление проволоки и погрешность с которой это сопротивление было вычислено:

 

r = (1,1155± 0,3)×10^-6 Ом×м

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: