 |
Ряд распределения. Многоугольник распределения
|
|
|
|
Случайная величина
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины другого типа, например:
1) абсцисса точки попадания при выстреле;
2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;
3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;
4) вес наугад взятого зерна пшеницы.
Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.
Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Ряд распределения. Многоугольник распределения
Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Мы условились также различать случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примеры прерывных случайных величин:
1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);
2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения 
);
|
|
|
3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможнее значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, …, n, …);
5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные значения 0, 1, 2, …, N, где 
– общее число самолетов, участвующих в бою).
Примеры непрерывных случайных величин:
1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле;
2) расстояние от точки попадания до центра мишени;
3) ошибка измерителя высоты;
4) время безотказной работы радиолампы.
Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, 
– число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: 
.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.
Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины .
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 5.1.1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
|
|
|
Рис. 5.1.1.
Функция распределения
. (5.2.1)
Функцию распределения 
иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.
1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при 
.
2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: 
.
3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: 
.
Плотность распределения
Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения 
, которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от 
до 
:
,
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать 
к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:
. (5.4.1)
Введем обозначение:
. (5.4.2)
Функция 
- производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).
Рис. 5.4.1.
Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.
|
|
|
Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).
Рис. 5.4.4.
Укажем основные свойства плотности распределения.
1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:
.
Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
.
Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .
Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:
1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.
|
|
|
