Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число x_п. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x₁, x₂, x₃, …, x_n, ….

Числа x₁, x₂, x₃, …, x_n, будем называть элементами (или членами) последовательности, x_n – общим членом последовательности.

Сокращенно последовательность обозначается .

Определение. Последовательность { x_n } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа m и M такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

В противном случае последовательность { x_n } называется неограниченной.

Определение 2. Число a называется пределом числовой последовательности { x_n }, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n > N выполняется неравенство:

Предел обозначается:

Согласно этому определению в

e – окрестности, то есть в интервале

(а–e, а+e) предельной точки последовательности, находится бесконечное число элементов этой последовательности.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если, начиная с некоторого номера N все элементы этой последовательности оказываются в

e – окрестности точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности {x_n}, {у_n}, {z_n}.

Теорема 1.Если

и начиная с некоторого номера, выполняется неравенство x_n ≤ у_n, то а≤ .

Теорема 2.

Если

и справедливо неравенство

x_n ≤ z_n ≤ у_n (начиная с некоторого номера), то .

 

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функцией y=f(x) называется выражение (закон), по которому каждому элементу х соответствует значение y.

Пусть функция y =f (x) определена в некоторой окрестности x₀, кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение. Число A называется пределом функции y =f (x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число

δ > 0, зависящее от e, что для всех х ¹x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀ │< δ, выполняется неравенство

│ f (x) – А │<ε.

Или кратко:

ε > 0 δ > 0,

x:│ х –x₀ │< δ, х ¹x₀ => │ f (x) – А │<ε.

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой

ε – окрестности точки A найдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х ¹x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в

ε – окрестности точки А.

Рис. 1

 

Если при х®х₀ переменная х принимает лишь значения, меньшие х₀ и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят, что функция имеет односторонний предел, в данном случае предел слева:

.

 

Если переменная принимает значения большие х₀ при f(x) ® А, то функция имеет предел справа:

.

Пусть функция y =f (x) определена в промежутке (– ; + ).

 

Определение. Число A называется пределом функции f (x) при х , если для любого числа ε > 0 существует такое число M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │ x │ >M, выполняется неравенство │ f (x) – А │< ε.

В этом случае пишут f (x) = А.

Или кратко:

ε > 0 M > 0, х:│ x│ > M => │ f (x) – А │<ε.

f (x) = А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f (x) = 0. (Б.М.В.)

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при х →x₀, если для любого числа M > 0 существует число δ= δ(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

, выполняется неравенство │ f (x) │>М.. В этом случае пишут f (x) = .

 

Рассмотрим теперь основные свойства б.м.в.,

(которые принято обозначать: ), определяемые следующими теоремами.

 

Теорема 1.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: