Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число xп. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x1, x2, x3, …, xn, ….

Числа x1, x2, x3, …, xn, будем называть элементами (или членами) последовательности, xnобщим членом последовательности.

Сокращенно последовательность обозначается .

Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа m и M такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

В противном случае последовательность { xn } называется неограниченной.

Определение 2. Число a называется пределом числовой последовательности { xn }, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n > N выполняется неравенство:

Предел обозначается:

Согласно этому определению в

e – окрестности, то есть в интервале

(а–e, а+e) предельной точки последовательности, находится бесконечное число элементов этой последовательности.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если, начиная с некоторого номера N все элементы этой последовательности оказываются в

e – окрестности точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности {xn}, n}, {zn}.

Теорема 1.Если

и начиная с некоторого номера, выполняется неравенство xn ≤ уn, то а≤ .

Теорема 2.

Если

и справедливо неравенство

xn zn ≤ уn (начиная с некоторого номера), то .

 

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функцией y=f(x) называется выражение (закон), по которому каждому элементу х соответствует значение y.

Пусть функция y =f (x) определена в некоторой окрестности x0, кроме, может быть, самой точки x0.

Определение. Число A называется пределом функции y =f (x) в точке x0 (или при х →x0), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число

δ > 0, зависящее от e, что для всех х ¹x0, удовлетворяющих неравенству

х –x0 │< δ, выполняется неравенство

f (x) – А │<ε.

Или кратко:

ε > 0 δ > 0,

x:│ х –x0 │< δ, х ¹x0 => │ f (x) – А │<ε.

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой

ε – окрестности точки A найдется такая δ – окрестность точки x0, что для всех х ¹x0 из этой окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в

ε – окрестности точки А.

Рис. 1

 

Если при х®х0 переменная х принимает лишь значения, меньшие х0 и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят, что функция имеет односторонний предел, в данном случае предел слева:

.

 

Если переменная принимает значения большие х0 при f(x) ® А, то функция имеет предел справа:

.

Пусть функция y =f (x) определена в промежутке (– ; + ).

 

Определение. Число A называется пределом функции f (x) при х , если для любого числа ε > 0 существует такое число M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству x>M, выполняется неравенство f (x) – А │< ε.

В этом случае пишут f (x) = А.

Или кратко:

ε > 0 M > 0, х:│ x│ > M => │ f (x) – А │<ε.

f (x) = А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой функцией при х →x0, если f (x) = 0. (Б.М.В.)

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при х →x0, если для любого числа M > 0 существует число δ= δ(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

, выполняется неравенство f (x) │>М.. В этом случае пишут f (x) = .

 

Рассмотрим теперь основные свойства б.м.в.,

(которые принято обозначать: ), определяемые следующими теоремами.

 

Теорема 1.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...