 |
Дз № 1. Определённый интеграл
|
|
|
|
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, которая расположена
на плоскости Oxy.
Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру.
| Вар. | Уравнения линий, ограничивающих фигуру |
| |
| |
| |
 ,  и касательная к этой линии в точке её пересечения с осью 
| |
| |
| |
| |
| |
 ,  , 
| |
| |
 и касательная к этой линии в начале координат
| |
| |
 и прямая, проходящая через концы этой линии
| |
| |
 , и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox
| |
| |
| y=arcsinx, касательная к этой линии в начале координат и прямая x=1 | |
| y=arcsinx, y=-arcsin(x-2), y=-π/2 | |
| |
| |
и прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой  на заданной линии.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
 ,  и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox
| |
| |
| |
|
Задача 2. Фигура, расположенная на плоскости Oxy, вращается около координатной оси. Вычислить объём полученного тела вращения.
Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру, и ось вращения.
| Вар. | Уравнения линий, ограничивающих фигуру | Ось вращения |
| OY | |
| OX | |
| OY | |
| OX | |
| OY | |
 и касательная к этой кривой в точке пересечения ее с осью Ox
| OY | |
| OY | |
| 
| |
 и ветвь тангенсоиды  , проходящая через начало координат
|
| |
| OY | |
|
| |
| OY | |
и 
| 
| |
 (между двумя соседними точками касания этой линии с осью Ox)
|
| |
| OY | |
| .
| |
| OY | |
 , при  ,  , при  , 
| OY | |
| OY | |
| OY | |
| OY | |
| OY | |
|
| |
 и касательная к этой кривой в начале координат
| OY | |
 и касательная к этой линии в точке её пересечения с осью Ox
| OY | |
|
| |
| OY | |
| OY | |
|
| |
|
|
Задача 3. Вычислить площадь фигуры.
|
|
|
Для каждого номера варианта задана соответствующая фигура
1. Внутри окружности 
и одновременно внутри кардиоиды 
..
2. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности 
.
3. Внутри кардиоиды 
и одновременно слева от прямой 
.
4. Внутри окружности 
и одновременно внутри кардиоиды 
5. Внутри кардиоиды 
и одновременно внутри кардиоиды .
6. Внутри правой ветви лемнискаты 
и одновременно вне окружности 
.
7. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности 
.
8. Внутри окружности и одновременно вне лемнискаты .
9. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности .
10. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности 
.
11. Внутри окружности 
и одновременно вне окружности 
.
12. Внутри окружности и одновременно внутри кардиоиды 
.
13. Внутри окружности и одновременно вне кардиоиды .
14. Внутри лемнискаты 
и одновременно внутри окружности 
.
15. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды 
.
16. Внутри четырёхлепестковой розы 
и одновременно внутри окружности .
17. Внутри окружности и одновременно вне кардиоиды .
18. Внутри окружности r = 3 и одновременно вне кардиоиды .
19. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды 
.
20. Внутри кардиоиды и одновременно справа от прямой 
.
21. Внутри окружности и одновременно внутри лемнискаты .
22. Внутри окружности 
и одновременно вне кардиоиды 
.
23. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности .
24. Внутри лемнискаты 
и одновременно вне окружности .
25. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности
26. Между двумя лемнискатами 
и .
27. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности 
.
28. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды .
29. Внутри окружности 
и одновременно вне четырёхлепестковой розы 
.
30. Внутри окружности и одновременно вне трёхлепестковой розы 
.
Задача 4. Вычислить длину дуги кривой.
|
|
|
| Вар. | Уравнение кривой ограничения на переменные |
 
| |
 , 
| |
 
| |
 , внутри 
| |
 , , 
| |
 , вне
| |
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , внутри ветвей гиперболы 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , внутри ветвей гиперболы 
| |
 , внутри окружности 
| |
 ,
| |
 где 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , внутри 
| |
 , 
| |
| , внутри
| |
 , 
| |
 , 
| |
 , 
| |
 между точками пересечения с осью
| |
 , 
| |
 , 
|
Задача 5. Вычислить площадь поверхности, полученной при вращении заданных линий вокруг заданной оси.
| Вар. | Уравнения кривых, ограничения на переменные | Ось вращения |
 , 
|
| |
|
|
| |
 , 
|
| |
|
| |
 , 
|
| |
 ,
|
| |
 , 
|
| |
 
|
| |
 , 
|
| |
 ,
|
| |
 ,
|
| |
 , 
|
| |
 , .
|
| |
 , 
|
| |
 , 
|
| |
|
| |
 и касательная к этой кривой в точке её пересечения с осью  , 
|
| |
|
| |
 , 
|
| |
| полярная ось | |
|
| |
 , 
|
| |
 между точками пересечения с осью
|
| |
 
|
| |
|
| |
 , 
|
| |
| полярная ось | |
 , касательная к этой кривой в точке с абсциссой 
и ось
|
| |
|
| |
 и касательная к этой кривой в точке её пересечения с осью
|
|
Задача 6. Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
| Вар. | А) | Б) | В) |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
|
|
|
|
