 |
Расчет переходных процессов при коммутации ключа К1
|
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ
Представлен расчет переходных процессов в цепи двумя методами:
1) классическим методом
2) операторным методом
Построены графики зависимостей напряжений и токов на конденсаторе и катушке индуктивности от времени.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
Разобьем поставленную задачу на две части: расчет переходных процессов в цепи после замыкания ключа К1, и расчет переходных процессов при замыкании ключа К2, применяя полученные условия после коммутации ключа К1.
Расчет переходных процессов при коммутации ключа К1
Начертим исходную цепь с учетом того, что ключ К2 разомкнут (рисунок 2)
Независимые начальные уравнения.
uc(0-) = uc(0) = uc(0+);
i c(0-) = i c(0) = i c(0+).
До коммутации.
uc(0-) = 0 и i c(0-) = 0, следовательно, uc(0) = uc(0+) = 0 и i (0) = i (0+) = 0. Изобразим цепь после коммутации К1 (рисунок 3)
Изобразим схему цепи для подсчёта входного сопротивления (рисунок 4)
Рисунок 4 – Схема для подсчета входного сопротивления
Составим характеристическое уравнение для изображенной на рисунке 4 схемы методом входного сопротивления [1]. Сделаем формальную замену jω на р и приравняем z к нулю:
Z(p)=0
Подставив в полученное уравнение параметры цепи, решим уравнение с помощью MathCAD.
Рисунок 5 – Решение уравнения в MathCAD
Получили 2 комплексных сопряженных корня:
Отсюда α=-35000, ω= 
Поскольку корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то свободная составляющая тока имеет вид:
Процесс носит колебательный характер.
Т.к. 
A
То полный ток:
, А.
Определим постоянные интегрирования А и ψ.
Первое уравнение для расчёта А и φ получаем из условия i (0) = 0, т.е.
Для получения второго уравнения запишем для цепи уравнение по второму закону Кирхгофа:
|
|
|
Где
Получим второе уравнение для расчёта А и ψ из условия Uc(0) = 0
Так как i(0)=0 то на 
не будет падения напряжения тогда уравнение примет вид:
Получим второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования.
Решив систему уравнений, получаем
ψ= 173.6о или φ= 3.03рад.
Тогда:
Расчет переходных процессов при коммутации ключа К2
 |
Рисунок 7 – Схема цепи в принужденном режиме
Из рисунка 7 видно, что
Рисунок 8 – Схема для подсчета входного сопротивления
Составим характеристическое уравнение для изображенной на рисунке 8 схемы методом входного сопротивления [1]. Сделаем формальную замену jω на р и приравняем z к нулю:
z(p)=0
Подставив в полученное уравнение параметры цепи, решим уравнение с помощью MathCAD.
Рисунок 9 – Нахождение корней уравнения в MathCAD
Получили пару сопряженных комплексных корня:
Поскольку корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то свободная составляющая тока на индуктивности имеет вид:
Полный ток на индуктивности:
Значения тока на катушке и напряжения на конденсаторе для времени τ, согласно уравнениям, полученным после коммутации первого ключа равны:
A
В
Определим постоянные интегрирования А и ψ.
Начальные условия:
и 
Первое уравнение для расчёта А и ψ:
Для получения второго уравнения запишем для цепи уравнение по закону Кирхгофа для момента t = 
+:
Учтём независимые начальные условия и получим:
Теперь продифференцируем выражение полного тока:
Второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования:
Решим систему из полученных уравнений:
Решив систему уравнений, получаем
97.627о или 
рад.
Тогда:
В
2.ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
Расчет переходных процессов при коммутации ключа К1
Составим операторную схему замещения после замыкания ключа К1[1]:
|
|
|
Рисунок 10– Операторная схема замещения
На схеме не изображены дополнительные источники энергии, соответствующие изображениям емкости и индуктивности, так как в начальный момент времени токов и напряжений в цепи не было, а, следовательно, их номинальные значения нулевые, в схеме остаются только их внутреннее сопротивление, а сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю.
Составим систему уравнений для контурных токов в операторной форме:
Решим полученную систему уравнений с помощью MathCAD:
Рисунок 16 – Решение системы уравнений и нахождение оригиналов изображений в MathCAD
Получаем:
|
|
|
