Расчет и построение картины электростатического поля

ВВЕДЕНИЕ

Общей задачей расчета электрического поля является определение напряженности в каждой его точке. Задача считается решенной, если найдено распределение потенциала как функции координат. Распределение потенциала в плоскости тел, а также распределение зарядов на их поверхности и расчет емкости между телами может быть определен по картине распределения электрического поля, создаваемого поверхностными зарядами тел. Электрическое поле двух цилиндров, рассматривают как плоскопараллельное поле, т.е. изменением поля по координате Z пренебрегают. В этом случае картина поля, представляющая собой совокупность эквипотенциальных линий и линий напряженности поля, во всех плоскостях, перпендикулярных оси 0Z будет одинакова и с равными потенциалами совпали с поверхностями проводящих цилиндров. В этом случае поле в диэлектрике окружающем цилиндры, будет описываться теми же уравнениями, что и поле двух бесконечно длинных цилиндров кругового сечения с параллельными осями, расположенными в воздухе.

Цели и задачи мы поставили следующие:

Цели: рассчитать и построить картину электростатического поля с помощью программы Mathcad.

Задачи: выявить достоинства и недостатки применения программы Mathcad для построения электростатического поля.

ТЕОРИЯ

Электростатическое поле — поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный точечный заряд, помещённый в это поле. Пробный заряд должен быть ничтожно малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.

Электрическое поле называют однородным, если вектор его напряженности одинаков во всех точках поля.

Основные характеристики электростатического поля:

• напряженность
• потенциал

 

Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :

.

Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном^[1] множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора (вообще говоря - разное^[2] в разных точках пространства), таким образом, - это векторное поле. Формально это выражается в записи

представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле^[3], и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в Международной системе единиц (СИ) измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон [Н/Кл].

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в вакууме. В единицах системы СИ:

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — электрическая постоянная (в фарадах на метр).

 

 

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Теория поля есть учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления и о вытекающих из них методах расчета.

Электромагнитное поле является особым видом материи, оно является носителем энергии и обладает специфическими (присущими только ему) электрическими и магнитными свойствами. Изложение основных свойств и методов расчета полей произведем в порядке перехода от более простых к более сложным. В соответствии с этим в начале рассмотрим поля, неизменные во времени, и только после этого изучим переменное электромагнитное поле. Изучение всех видов полей расширяет физические представления о поле, известные и курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических устройствах, важно с прикладной точки зрения, т.к. дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей, но и более общих задач (излучение и канализация электрической энергии и др.).

Мы будем изучать только поля в однородных (одинаковых во всех точках поля) и изотропных (со свойствами, не зависящими от интенсивности поля) средах.

Электростатическое поле

Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного, оно создается неподвижными в пространстве (относительно наблюдателя) и неизменными во времени зарядами. Непосредственно на органы чувств человека электростатическое поле не воздействует, но ему присуща способность воздействовать с механической силой на помещенный в него пробный заряд. Это воздействие и положено в основу обнаружения электростатического поля и определения его интенсивности.

Основными величинами, характеризующими свойства этого поля являются его напряженность и потенциал. Если в электростатическое поле поместить настолько малый пробный заряд, что он своим присутствием не исказит его, то на него будет действовать сила Отношение этой силы к величине заряда и даст напряженность поля Если , то Отсюда следует, что напряженность поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, она характеризует интенсивность поля. Единица измерения напряженности

Допустим, что в некотором электростатическом поле единичный положительный пробный заряд под действием сил поля переместился из точки 1 в точку 2 (рис.11.1). Тогда даст работу по перемещению этого заряда из т.1 в т.2. Из курса физики известно, что работа поп перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую есть напряжение или разность потенциалов, т.е. Если то Отсюда следует, что потенциал некоторой точки есть работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точку в ту, потенциал которой равен нулю. В качестве точки, имеющей нулевой потенциал, может быть выбрана любая. Часто её помещают в бесконечность, иногда на поверхность земли. Если точка с нулевым потенциалом выбрана, то совершенно однозначно определяются потенциалы всех остальных точек. Из рассмотренного видно, что потенциал определяется с точностью до постоянной, зависящей от того куда помещается точка с нулевым потенциалом. В связи с этим связь между потенциалом и напряженностью записывают так: Тот факт, что потенциал определяется с точностью до постоянной практического значения не имеет, т.к. важно напряжение, которое равно разности потенциалов, а при её взятии постоянная интегрирования уничтожается.

Если взять по замкнутому контуру, то он даст ноль, т.е. Это означает, что при движении вдоль замкнутого контура совершается определенная работа силами поля и точно такая же работа выполняется против сил поля. Соотношение выражает одно из основных свойств электростатического поля - оно является потенциальным (потенциальными являются все поля, для которых выполняется подобное соотношение – гравитационные, тепловые и т.д.).

Графическая картина электростатического поля

Э лектростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности и потенциала в функции координат. Нагляднее же его можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий, которая и называется его графической картиной. Силовой называется такая мысленно проведенная в поле линия, которая начинается на положительно заряженном теле, заканчивается на отрицательно заряженном теле и касательная к которой в любой точке дает направление вектора Е. Вдоль силовой линии перемещался бы весьма малый положительный заряд, имеющий возможность свободно двигаться и не обладающий инерцией. Так как положительный и отрицательный заряды не могут находиться в одной точке, то силовые линии имеют начало и конец, они не могут быть замкнутыми сами на себя. В любом электростатическом поле могут быть проведены эквипотенциальные поверхности как совокупности точек, имеющих один и тот же потенциал. Если поле рассечь какой либо плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы эквипотенциальных поверхностей, которые и называются эквипотенциальными линиями. В противоположность силовым эквипотенциальные линии являются непрерывными, замкнутыми сами на себя. В любой точке поля силовые и эквипотенциальные линии перпендикулярны друг другу. Для примера приведем графическую картину электростатического поля двух точечных зарядов (рис.11.2).

 

РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ КАРТИНЫ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Ход решения задачи представлен ниже:

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы мы выделили следующие плюсы и минусы:

Плюсы: Mathcad 14 предоставляет мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система MathCAD может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами. Mathcad 14 значительно расширяет возможности пользователей в решении постоянно растущих вычислительных задач, улучшает связанность расчётных документов на протяжении всего процесса разработки изделия. Mathcad 14 также позволяет выполнять более сложные расчёты, сохраняя их ясность. Это поможет пользователям при выводе формул, отображении вычислительного процесса и документального обоснования расчётов. В конечном итоге, специальные дополнительные возможности позволяют работать с более широким диапазоном инженерно-технических задач.

Минусы: Mathcad 14 показала себя как весьма придирчивая программа: данные должны находиться в определенном порядке, иначе программа будет работать некорректно. Это вызвало немало трудностей. Препятствия также возникли и при построении графиков. Данный пакет имеет некоторые ограничения (на графике можно представить не более 16 функций), которые помешали в работе при построении картины электростатического поля. Чтобы преодолеть данное ограничение, пришлось строить картину по частям и соединять части в фоторедакторе.

Данная программа весьма полезна в работе, но требует времени для понимания принципов ее работы.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: