Теория люсианов (бернуллиевских векторов)

       Люсиан (бернуллиевский вектор) - это последовательность испытаний Бернулли с, вообще говоря, различными вероятностями успеха [81, с. 232]. Реализация люсиана (бернуллиевского вектора) - это последовательность из 0 и 1. В работе [1] люсианы (бернуллиевские вектора) рассматривались как случайные множества с независимыми элементами, а в исследовании [82] - как результаты независимых парных сравнений. Последовательность результатов контроля качества единиц продукции по альтернативному признаку - также реализация люсиана (бернуллиевского вектора). Случайная толерантность может быть записана в виде люсиана. Поскольку один и тот же объект применяется в различных областях, естественно для его наименования применять специально введенный термин "бернуллиевский вектор". Используется также термин "люсиан"[2].

       В рассматриваемой теории изучают методы проверки согласованности (одинаковой распределенности), однородности двух выборок, независимости люсианов. Изучение этих задач в асимптотике А. Н. Колмогорова начато в работах [1, 82, 83] и продолжено Г. В. Рыдановой [117], Т. Н. Дылько [84], Г. В. Раушенбахом и А. А. Заславским [85]. Имеется также и обзор [33].

       Методы проверки указанных гипотез нацелены на ситуацию, когда число бернуллиевских векторов фиксировано, а их длина растет. При этом число неизвестных параметров возрастает пропорционально объему данных, т. е. теория построена в асимптотике растущего числа параметров. Ранее эта асимптотика под названием асимптотики А. Н. Колмогорова использовалась в дискриминантном анализе, но там применялись совсем другие методы [86].

       Непараметрическая теория парных сравнений (в предположении независимости результатов отдельных сравнений) - часть теории бернуллиевских векторов [82]. Параметрическая теория связана в основном с попытками выразить вероятности того или иного исхода через значения гипотетических или реальных параметров сравниваемых объектов [87]. Известны модели Терстоуна, Бредли-Терри-Льюса и др. [88]. В СССР построен ряд новых моделей парных сравнений [89, 4]. Существенные результаты в этой области принадлежат Д. С. Шмерлингу [90]. Имеются модели парных сравнений с тремя исходами (больше, меньше, неразличимо), модели зависимых сравнений, сравнений нескольких объектов (сближающие рассматриваемую область с теорией случайных ранжировок) и т. д. [4, 90, 91].

 Статистика случайных и нечетких множеств

       Давнюю историю имеет статистика случайных геометрических объектов (отрезков, треугольников, кругов и т. д.) [92]. Как сказано в монографии [93], современная теория случайных множеств сложилась "при изучении пористых сред и объектов сложной природы в таких областях, как металлография, петрография, биология". Различные направления внутри этой теории рассмотрены в работе [1, гл. 4]. Остановимся на двух.

       Случайные множества, лежащие в евклидовом пространстве, можно складывать: сумма множеств  и - - это объединение всех векторов , где , . Н. Н. Ляшенко получил аналоги законов больших чисел, центральной предельной теоремы, ряда методов прикладной статистики, систематически используя подобные суммы [94].

       Для статистики объектов нечисловой природы интереснее подмножества пространств, не являющихся линейными. В работе [1] рассмотрены некоторые задачи теории конечных случайных множеств. Ряд интересных результатов получил С. А. Ковязин [95], в частности, он доказал гипотезу [37] о справедливости закона больших чисел при использовании расстояния между множествами

,                  (15)

где.  - некоторая мера;.  - знак симметрической разности. Прикладники также делают попытки развивать статистику случайных множеств [43, 96].

       С теорией случайных множеств тесно связана теория нечетких множеств, начало которой положено статьей Л. А. Заде [97]. Это направление прикладной математики получило бурное развитие - к настоящему времени число публикаций измеряется десятками тысяч, имеются международные журналы, постоянно проводятся конференции, практические приложения дали ощутимый технико-экономический эффект [98, 118]. При изложении теории нечетких множеств [99-101] обычно не подчеркивается связь с вероятностными моделями. Установлено [1], что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств, хотя эта связь и имеет лишь теоретическое значение. Общее введение в прикладные вопросы теории нечеткости дано в работе [102].

       С точки зрения статистики объектов нечисловой природы нечеткие множества - лишь один из видов объектов нечисловой природы. Поэтому к ним применима общая теория в пространствах произвольной природы [103]. Имеются работы, в которых совместно используются соображения вероятности и нечеткости [104, 105].