 |
Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры.
|
|
|
|
Лекция 3
Раздел 2. Многочлены.
Сложение, умножение и алгоритм деления многочленов с остатком.
Определение. Алгебраическим многочленом степени п называется функция 
вида
(1)
у которой 
‑ переменное комплексное число, а 
‑ постоянные комплексные числа, последнее из которых 
.
Числа называют коэффициентами многочлена.
Для сокращенного обозначения многочленов обычно употребляют записи:
при этом, если хотят подчеркнуть, что многочлен 
‑ степени п, то пишут 
.
Для нахождения суммы многочленов и 
нужно записать подряд все члены этих двух многочленов и затем сделать приведение подобных членов.
Для нахождения произведения многочленов и нужно каждый одночлен многочлена умножить на каждый одночлен многочлена , сложить полученные произведения и привести подобные члены.
Основные законы сложения и умножения многочленов.
1. 
(коммутативность сложения).
2. 
(ассоциативность сложения).
3. 
(коммутативность умножения).
4. 
(ассоциативность умножения).
5. 
(дистрибутивность сложения относительно умножения).
Вычесть из многочлен 
‑ это значит найти такой многочлен 
, что 
. Многочлен называется разностью многочленов и .
Два многочлена и считаются тождественно равными тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях z. Равенство многочленов записывается так: 
.
В частности, запись 
будет означать, что многочлен тождественно равен нулю, т.е. все его коэффициенты равны нулю. Отметим, что если произведение многочленов равно нулю, то хотя бы один из этих многочленов тождественно равен нулю.
На определении равенства многочленов основан метод неопределенных коэффициентов разложения многочлена на множители. Разберем его на примере.
|
|
|
Пример. Разложить многочлен 
на множители, среди которых один многочлен первой степени, а второй ‑ многочлен второй степени.
Решение. Так как у многочлена коэффициент при старшей степени равен единице, то будем искать многочлены 
и 
так же со старшими степенями равными единице. Справедливо равенство
. (*)
Перемножив многочлены в правой части равенства (*) и приведя подобные получим:
. (**)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов, находящихся справа и слева в равенстве (**), получим:
Искомое разложение будет
.
Разделить нацело многочлен на многочлен 
, ‑ это значит найти многочлен такой, что 
. Если такой многочлен существует, то говорят, что является делителем многочлена , а многочлен называется частным от деления многочлена на многочлен .
Не любой многочлен делится нацело на многочлен . Например, 
не делится нацело на 
.
Деление с остатком. Разделить с остатком многочлен на , ‑ это значит найти два многочлена 
и 
такие, что
(2)
причем либо степень многочлена строго меньше степени многочлена , либо есть нуль.
В случае, когда выполнено равенство (2), говорят, что делится на с остатком и частным ; если 
, то говорят, что делится на с остатком нуль или делится нацело на .
Пример. Разделить на , если 
, 
.
Решение. Делим на уголком.
Получили: 
, где 
и 
.
Для определения коэффициентов многочленов и существуют и другие способов. Наиболее распространенный из них уже рассмотренный ранее метод неопределенных коэффициентов.
Пример. Разделить на , если 
, 
.
Решение. Так как , то пологая
, 
,
получим
.
Раскрыв скобки и приведя подобные в правой части этого равенства, имеем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов, находящихся справа и слева, получим:
Откуда находим 
, 
.
|
|
|
Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры.
Теорема (Безу) Остаток от деления многочлена на двучлен 
равен значению многочлена при 
, т.е. 
.
Доказательство. Подставив в равенство 
вместо z значение a, получим 
, т.е. 
. ÿ
Следствие. Многочлен делится нацело на двучлен тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть делится нацело на . Это означает, что остаток 
. По теореме Безу 
.
Достаточность. Пусть , тогда по теореме Безу , следовательно, , т.е. делится нацело на двучлен . ÿ
Определение. Комплексное число a называется корнем алгебраического многочлена , если 
.
Утверждение 1. Если комплексное число a является корнем многочлена ненулевой степени , то для справедливо представление
(3)
в котором 
‑ алгебраический многочлен степени 
, причем коэффициент при 
у многочлена совпадает с коэффициентом при 
у многочлена .
Доказательство. Так как a ‑ корень многочлена , то 
, т.е. 
. Вычислим разность 
:
Итак,
,
где
.
Многочлен имеет степень и коэффициент при равен 
.ÿ
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Ответ на этот вопрос дает
основная теорема алгебры, которую примем без доказательства.
|
|
|
