 |
Задачи для самостоятельного решения.
|
|
|
|
Плоскость в пространстве.
В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно переменных x, y, z, и обратно: каждое уравнение первой степени относительно переменных x, y, z определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором.
Пусть Р – плоскость, 
– точка, принадлежащая этой плоскости, а 
– нормальный вектор плоскости Р. Уравнение вида
называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении.
Это уравнение можно переписать в виде
Аx+Вy+Сz+D=0 
и мы получим общее уравнение плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости
| Значения коэффициентов | Вид уравнения | Положение плоскости |
| D=0 | Аx+Вy+Сz=0 | проходит через начало координат |
| С=0 | Ax+Вy+D=0 | проходит параллельно оси Оz. |
| C=D=0 | Аx+Ву=0 | проходит через ось Оz. |
| C=В=0 | Ах+D=0 | проходит параллельно плоскости Oyz, перпендикулярно оси Oх. |
| C=В=D=0 | Аx=0 (х=0) | совпадает с плоскостью Oyz. |
Уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
, 
имеет вид:
Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:
где a, b, c - это величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy и Oz.)
Угол между двумя пересекающимися плоскостями 
и 
равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Плоскость в пространстве. Стр.1
Условие параллельности двух плоскостей: 
Условие перпендикулярности двух плоскостей: 
.
Расстояние от точки до плоскости Аx+Вy+Сz+D=0 вычисляется по формуле: 
|
|
|
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;3;5) и перпендикулярной вектору 
.
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору: 4(х-2)+3(у-3)+2(z-5)=0. Раскрыв скобки, получим: 4х+3у+2z-27=0.
Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;–1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0.
Решение. Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости 
. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид: 5(х-2)-3(у-3)+2(z+1)=0 или 5х-3у+2z+1=0
Пример 3. Определить, при каких значениях l и m плоскости 2х+ly+3z-5=0 и mx-6y-6z+2=0 будут параллельны.
Решение. Применим условие параллельности плоскостей: 
Из данных уравнений плоскостей находим: 
, 
. Тогда 
или 
. Следовательно, 
и 
. Значит, 
Пример 4. Определить, при каком значении l плоскости 3x+5y+lz-5=0, x-3y+2z+5=0
будут перпендикулярны.
Решение. Из данных уравнений плоскостей находим: 
, 
.Используя условие перпендикулярности плоскостей, получим:
Пример 5. Определить расстояние от точки M 0(3;5;–8) до плоскости 6x-3y+2z-28=0.
Решение. 
Пример 6. Найти расстояние между параллельными плоскостями: x-2y-2z-12=0 и x-2y-2z-6=0.
Решение. На первой плоскости выберем произвольную точку М о и найдём расстояние от этой точки до второй плоскости.
Пусть абсцисса и ордината точки М о x=0 и y=0; тогда, подставив эти значения в уравнение первой плоскости, получим z=-6, т.е. 
. Тогда
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Плоскость в пространстве. Стр.2
Пример 7. Построить в системе координат плоскости, соответствующие следующим уравнениям: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. а) Представим данное уравнение в виде уравнения плоскости в отрезках на осях: x+2y+3z=6 
. Значит,
б) Т.к. С=0, то данная плоскость параллельна оси Oz. При этом уравнение в отрезках на осях имеет вид 
. Следовательно,
в) Т.к. В=С=0, то данная плоскость параллельна плоскости Oуz. При этом уравнение в отрезках на осях имеет вид 
. Следовательно,
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
№1. Даны точки А(3,-2,-1), В(0,0,2), С(-3,1,0), D(-4,-2,-5/2). Укажите, какие из них принадлежат плоскости 2х-3у+4z-8=0.
№2. Составить уравнение плоскости проходящей через точку А(1,3,1) и имеющую нормальный вектор 
(1;-2;3).
№3. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки 
(3;-1;2) и 
(-2;3;4).
№4. Найти угол между плоскостями 2х-3у+4z-1=0 и 3х-4у-z+3=0.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Плоскость в пространстве. Стр.3
№5. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Oz и проходящей через точку М(-2,-3,-1).
№6. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку М(1,1,1).
№7. Найти расстояние от точки А(1,-2,1) до плоскости 10х-2у+11z-10=0.
№8. Найти расстояние между параллельными плоскостями х-у+2z-4=0 и х-у+2z+10=0.
№9. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Р(9,-11,5), Т(7,4,-2),С(-7,13,-3).
№10. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью 3х-4у+5z-60=0.
№11. Установите взаимное расположение плоскостей (параллельны, совпадают, пересекаются, перпендикулярны):
а) х-у+3z+1=0 и 2 х-у+5z-2=0;
б) 2 х+у+2z+4=0 и 4х+2у+4z+8=0;
в) 3х+2у-z+2=0 и 6х+4у-2z+1=0.
№12. Составьте уравнение плоскости, проодящей через точку М(-1,-1,2) и перпендикулярной плоскостям х+2у-2z+4=0 и х-2у+z-4=0.
№13. Составьте уравнение плоскости. проходящей через точку М(1;1;1) параллельно векторам 
(1;2;0) и 
(0;1;3).
№14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;5;-7) и отсекающей на координатных осях отрезки равной величины.
№15. Найдите угол между плоскостями 2х+у-2z+6=0 и 2х-2у+z+8=0.
№16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
и перпендикулярной плоскости х-у-3z+2=0.
№17. Напишите уравнение плоскости, проведённой через точку А(1,-2,3) параллельно плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Плоскость в пространстве. Стр.4
|
|
|
