 |
Примеры на применение неравенства Чебышева
|
|
|
|
ПРЕДЕЛЕЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Свойства устойчивости массовых случайных явлений означает, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не оказывается на среднем результате таких явлений в общей совокупности. Случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе невелируются, погашаются, выравниваются. Наблюдается устойчивостьсредних величин, к которым и стремится значение случайной величины прибыльном количестве наблюдений.
При очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя как не случайные, позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.
Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяется наличием другой предельных теорем, касающихся предельных законов распределения.
Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.
Неравенство Чебышева
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидании mx и дисперсии Dx, справедливо неравенство:
Dx
Р { | X = mx | > } < (1)
где - любое положительное число
Неравенство (1) ограничивает сверху вероятности больших отклонений случайной величины от ее математического ожидания.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть Х - непрерывная случайная величина с плотностью f (x). Событие А, состоящее в том, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания mx будет не меньше, чем:
|
|
|
А = { | X – mx |. } (2)
Представляет собой попадание случайной точки Х за переделы участка (mx -; mx +) на оси абцисс:
_______________________________________________________
mx - mx mx + x
Рис. 1
На рисунке 1 эта зона абcцисс (включая крайние точки mx -: mx +) отмечена жирной линией и жирными точками. Вероятность попадания Х в эту зону
Р = { | X – mx |. } = f (x) dx + f(x) dx = 1 - f(x)dx (3)
Вычислим дисперсию случайной величины Х:
2 2
Dx = (x – mx) f(x) dx = | x – mx| f(x) dx (4)
Заменим в правой части уравнения (4) всю область интегрирования на множество точек, для
которых (x – m) >
От этого интеграл увеличится не может:
2 2
Dx > (x – mx) f (x) dx + | x – mx| f(x) dx (5)
Заменим в правой части уравнения (5) величину | x –mx | на величину, не превосходящую ее. От этого выражение (5) больше не станет:
Dx > f(x) dx + f(x) dx (6)
То есть:
Dx > P { | X – mx| > } (7)
Делим обе части равенства (7) на > 0, получим:
Dx
> P { | X – mx| >
> P { | X – mx| > }
Аналогично доказывается неравенство Чебышева для дискретной случайной величины, имеющей значение х1, х2, …, хn с вероятностями Р1, Р2,…., Рn/
Вместо интеграла ставится сумма. Оценим сверху вероятность того, что случайная величина Х отклоняется от своего математического ожидания не меньше, чем на 3 х.
D
P { | X –d | > } < (7)
Полагаем = t; D =
Неравенство (7) можно записать в виде:
2 2 2
P { | X – a | > t } < t = t
Задавая разные значения t, оценим вероятности того, что верхние пределы случайной величины Х выйдут за пределы t:
При t = 1: P { | X –a | > y } < 1
При t = 2: P { | X –a | > 2 y } < 4
При t = 3: P { | X –a | > 3y } < 9
Полагая = 3, получим
P { | X –a | > 3 x } < (3 x) - 9 x 9
Вывод: для любой случайной величины вероятность невыполнения «правила трех сигм» не
превышает 9. Неравенство Чебышева можно записать в эквивалентной форме, если перейти от события | X – mx | > к противоположному событию | X – mx| <
|
|
|
Тогда получим
Д
P { | X –a| < } > 1 - (*)
Оценим вероятность события | X – a| < 3.
Полагаем = 3, плучим в первой части неравенства (*) число
1 8
P { | X – a | < } > 1 - 9 = 1 – 9 = 9
Вероятность события, состоящего в том, что значение случайной величины Х попадают в интервал
a – 3 < X < a + 3, не менее, чем 9
Чем меньше значение дисперсии, тем меньше отклоняются значения случайной величиныот своего математического ожидания.
Для нормального распределения вероятность равна 0,997.
Примеры на применение неравенства Чебышева
При = 3, в каждом из которых сравним точное значение P { |X –mx | > 3 x с его
верхней оценкой 9.
Пример 1. Случайная величина Х – индикатор события А с вероятностью р имеет два (2) возможные значения:
0 – с вероятностью q = 1 – р,
1 – с вероятностью р:
Распределение (а):
| Х = | ||
| Q | p |
По теореме: mx = p; Dx =pq
Вычислим, пользуясь распределением (а), точное значение вероятности
P { | X – p | > 3 pq }
Нетрудно убедиться в том, что значение вероятности зависит от того, какова вероятность р:
P при p < 0,1
P { | X – p| > 3 pq } = 0 при 0,1 < p < 0,9 (б)
Q при p > 0,9
Дополнительно, при р = 0,1 выражение 3 рq = 3 0,009 = 3,03. Единственное значение случайной величины Х, отклоняющееся от р = 0,1 больше, чем на 0,3, то есть 1, а его вероятность равна р. То же будет и при р < 0,1. Для больших вероятностей р > 0,9 единственным значением случайной величины Х, отклоняющимся от р больше, чем на 3 х, будет 0, а его вероятность равна q.
Из выражения (б) видно, что вероятность события | X – p | > 3 pq не больше, чем р при малых р, и не больше, чем 1 – р = q при больших р. Значит, она ни при каких условиях не
превосходит 0,1, что меньше, чем 9, даваемое неравенством Чебышева.
При значениях 0 < p < 0,9 ошибка «правила трех сиги» вообще равна нулю.
Пример 2 Случайная величина Х имеет биноминальное распределение с параметрами п и р:
k k n-k
P { X = k } = C n p q (q = 1 – p; k = 0,1,2,3,…..,n)
В данном случае mx = n p; 3 0x = 3 p q n
Вероятность невыполнения «правила трех сигм»
P { | X – np | > 3 n q p } = P { X < np – 3 npq } + P { X > np + 3 n p q}=
k k n-k k k n-k
C n p q + Cn p q, где
|
|
|
n p + 3 n p q если это целое число
К = [ n p + 3 n p q ] + 1 если число n p + 3 n p q дробное
[ x ] - целая часть числа х.
Подсчеты для конкретных значений n и р показывают, что эта вероятность существенно
меньше 9.
Пример 3. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на участке от а до b
f(x)= b – a при x C (a, b)
0 при x C (a, b)
a + b
Перенесем начало отсчета в точку с абсциссой 2 то есть отцентрируем случайную величину Х.
При этом ее математическое ожидание станет равным 0, а дисперсия не изменится. Обозначим b – a = c > 0 - длину участка, на котором распределено равномерно случайная величина Х. Центрированная случайная величина Х распределена равномерно на участке
с с с
(- 2; 2). Ее среднеквадратическое отклонение х = 2 3.
Рассмотрим участок 0 + 3 х, вероятность непопадания точки Х, в который требуется найти. Правая его граница 0 + 3 х, имеет абсциссу 2с с
2 3 = 3 2.
c c с с
Так как 3 2 > 2. Эта точка лежит за пределами участка (- 2; 2) и вероятность попадания правее ее равна нулю.
с
Так же равна нулю вероятность ее попадания левее точки с абсциссой 3 2.
Следовательно, в случае равномерного распределения «правила трех сигм» действует безошибочно. Вероятность его невыполнения равна нулю.
Пример 4.
Случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью f (x) = e
при x > 0. Его характеристики:
mx = x =
Отклонение случайной величины Х от mx больше, чем на 3, возможно только в большую сторону, так как mx – 3 отрицательно.
Вероятность невыполнения «правила трех сигм»:
1 3 4 4
P { X > mx + 3 } = P { X > + } + P { X > } = 1 - F { },
- x
где F (x) = 1 – e - функция распределения случайной величины Х.
-4
Отсюда P { X < mx + 3 } = 1 – (1 – e) = e ~ 0,0183
Вывод: для показательного закона вероятность невыполнения «правила трех сигм» равна 0, 0183, но все же не пренебрежимо мало. Это значительно меньше, чем 1
9 = 0,1111
Показательное распределение – одно из наимпенее благоприятных для применения «правила трех сигм» - почти в 2% случаев значения случайной величины Х выходят за пределы интервала mx + 3
|
|
|
Пример 5.
Случайная величина Х распределена по тнормальному закону с параметрами m и х.
Вероятность невыполнения «правила трех сигм»
P { | X – m | > 3 } = 1 – P { | X – m| < 3 } =1 – 2 Ф () = 1 – 2 Ф (3)
Где Ф(х) – функция Лапласа.
По таблице значений Лапласа находим
Ф (3) = 0, 49865 отсюда:
P { | X – m | > 3 } = 1 – 2 0,49865 = 0, 0027
Вывод:для нормального закона распределения ничтожная доля значений случайной величины (менее 3 %) выходит за пределы интервала m + 3
Для большинства случайных величин «правила трех сигм» выполняется с довольно высокой вероятностью. Для того, чтобы ориентировочно представить себе диапазон практически возможных значений случайной величины, можно отложить от математического ожидания m x в ту или другую сторону по 3
ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА.
Переходим к рассмотрению различных форм закона больших чисел. Во всех
|
|
|
