Радиус вписанной окружности

Формулы сокращенного умножения

(а+b)² = a² + 2ab + b²

(а-b)² = a² - 2ab + b²

a² – b² = (a-b)(a+b)

a³ – b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab²+ b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b+ 3ab²- b³

Свойства степеней

a⁰ = 1 (a≠0)

a^m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a^{- r} = 1/ a ^r (a>0, r ε Q)

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}

a ^m: a ⁿ = a ^{m – n} (a≠0)

(a ^m) ⁿ = a ^mn

(ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ

(a/b) ⁿ = a ⁿ/ b ⁿ

 

 

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) - первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xⁿ = xⁿ⁺¹/n+1 + C

1/x = ln |x| + C

e^x = e^x + C

a^x = a^x/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin² x = - ctg x + C

1/ cos² x = tg x + C

sin x = - cos x + C

1/ x² = - 1/x

 

 

Геометрическая прогрессия

b _n+1 = b_n · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

b _n = b₁ · q ^{n – 1} – n-ый член прогрессии

Сумма n-ых членов

S _n = (b _n q - b ₁)/q-1

S _n = b ₁ (q ⁿ - 1)/q-1

Модуль

|a| = a, если a≥0

-a, если a<0

Формулы cos и sin

sin (-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

sin (x + π) = -sin x

cos (x + π) = -cos x

sin (x + 2πk) = sin x

cos (x + 2πk) = cos x

sin (x + π/2) = cos x

 

 

Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная,параллелепипед V = S·h

2. Прямая призма S_БОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)

P – полная поверхность

4. Куб: V = a³; P = 6 a²

5. Пирамида, правильная и неправ.

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr²h

8. Цилиндр круговой: S_БОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr²h

10. Конус круговой: S_БОК = 1/2 pL= πrL

 

Тригонометрические уравнения

sin x = 0, x = πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = - π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x = π + 2 πn

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy - cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 ^-₊ tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x ^-₊ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x^-₊y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x^-₊y/2)

1 + cos 2x = 2 cos² x; cos²x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin² x; sin²x = 1- cos2x/2

 

6. Трапеция

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат

а – сторона, d – диагональ S = a² = d²/2

8. Ромб

a – сторона, d₁, d₂ – диагонали, α – угол между ними S = d₁d₂/2 = a²sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a²

10. Круг

S = (L/2) r = πr² = πd²/4

11. Сектор

S = (πr²/360) α

 

Правила дифференцирования

(f (x) + g (x))’ = f ’(x) + g’(x)

(k(f(x))’ = kf ’ (x)

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x)

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) - f(x)·g’(x))/g² (x)

(xⁿ)’ = nx ^n-1

(tg x)’ = 1/ cos² x

(ctg x)’ = - 1/ sin² x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

Уравнение касательной к графику функции

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b

S = ∫(f(x) – g(x)) dx

Формула Ньютона-Лебница

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F (a)

 

t	π/4	π/2	3π/4	π
cos	√2/2		-√2/2
sin	√2/2		√2/2
t	5π/4	3π/2	7π/4	2π
cos	-√2/2		√2/2
sin	-√2/2	-1	-√2/2
t		π/6	π/4	π/3
tg		√3/3		√3
ctg	-	√3		√3/3

sin x = b x = (-1)ⁿ arcsin b + πn

cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b x = arctg b + πn

ctg x = b x = arcctg b + πn

Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с²=a²+b²-2ab cos y

 

Неопределенные интегралы

∫ dx = x + C

∫ xⁿ dx = (x ^{n +1}/n+1) + C

∫ dx/x² = -1/x + C

∫ dx/√x = 2√x + C

∫ (kx+b) = 1/k F(kx + b)

∫ sin x dx = - cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin² x = -ctg + C

∫ dx/cos² x = tg + C

∫ x ^r dx = x ^r+1/r+1 + C

Логарифмы

1. log_a a = 1

2. log_a 1 = 0

3. log_a (bⁿ) = n log_a b

4. log _Aⁿ b = 1/n log_a b

5. log_a b = log _c b/ log _c a

6. log_a b = 1/ log _b a

 

Градус
sin		1/2	√2/2	√3/2
cos		√3/2	√2/2	1/2
tg		√3/3		√3
t	π/6	π/3	2π/3	5π/6
cos	√3/2	1/2	-1/2	-√3/2
sin	1/2	√3/2	√3/2	1/2
	√3/2	√2/2	1/2
	-1/2	-√2/2	-√3/2	-1
-	-√3	-1	√3/3
t	7π/6	4π/3	5π/3	11π/6
cos	-√3/2	-1/2	1/2	√3/2
sin	-1/2	-√3/2	-√3/2	-1/2

 

Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos²x – sin² x = 2 cos² x -1 = 1 – 2 sin² x = 1 – tg² x/1 + tg² x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg² x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg² x

ctg 2x = ctg ² x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg³ x / 1 – 3 tg² x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) - cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

Формулы дифференцирования

c’ = 0 ()’ = 1/ 2

x’ = 1 (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k (cos x)’ = - sin x

(1/x)’ = - (1/x²) (ln x)’ = 1/x

(e^x)’ = e^x; (xⁿ)’ = nx ^n-1;(log _a x)’=1/x ln a

 

Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник

S = (a/2)·√ b² – a²/4

3. Равносторонний треугольник

S = (a²/4)·√3 (a – сторона)

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a²b sin C =

a²sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

5. Параллелограмм

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

 

cos (x + π/2) = -sin x

Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

tg(-x) = - tg x

ctg(-x) = - ctg x

tg (x + πk) = tg x

ctg (x + πk) = ctg x

tg (x ± π) = ± tg x

ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = - ctg x

ctg (x + π/2) = - tg x

sin² x + cos² x =1

tg x · ctg x = 1

1 + tg² x = 1/ cos² x

1 + ctg² x = 1/ sin² x

tg² (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos² (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin² (x/2) = 1 - cos x/ 2

 

 

11. Шар: V=4/3 πR³ = 1/6 πD³

P = 4 πR² = πD²

12. Шаровой сегмент

V = πh² (R-1/3h) = πh/6(h² + 3r²)

S_БОК = 2 πRh = π(r² + h²); P= π(2r² + h²)

13. Шаровой слой

V = 1/6 πh³ + 1/2 π(r² + h²)· h;

S_БОК = 2 π·R·h

14. Шаровой сектор:

V = 2/3 πR² h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

 

 

(a≥0, b≥0)

(a≥0)

Формула корней квадр. Уравнения

ax² + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b²-4ac)

Если D>0, то x_1,2 = -b± /2a

Теорема Виета

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

Арифметическая прогрессия

a _n+1 = a _n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a _n = a ₁ + (n – 1)·d – формула n-го члена

Сумма n членов

S _n = ((a ₁ + a _n)/2) · n

S _n = ((2a ₁ + (n-1)d)/2) · n

 

Радиус описанной окружности около многоугольника

R = a/ 2 sin 180/n

Радиус вписанной окружности

r = a/ 2 tg 180/n

Окружность

L = 2 πR S = πR²

Площадь конуса

S _БОК = πRL

S _КОН = πR(L+R)

Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс - наоборот

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: