Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП
Глава 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 2 ФНП, предел, непрерывность, Что главное мы узнали на прошлой лекции Были изучены несобственные интегралы с неограниченной областью интегрирования и неограниченными функциями. Что мы узнаем на этой лекции Мы приступим к изучению функций, зависящих от нескольких аргументов. Выясним, что понимается под аргументом ФНП как такие понятия, как предел, непрерывность, производная вводятся для ФНП. Евклидово пространство Вспомним некоторые важные понятия, изученные в 1 семестре. Мы познакомились с векторами на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости обладают рядом важных свойств. Для них введены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Результатом этих операций являются вектора на плоскости, причем справедливы следующие 8 свойств: 1) Определение 1. Множество элементов произвольной природы называется векторным пространством или линейным векторным пространством, если для этих элементов введены операции сложения и умножения на действительное число, причем для этих операций справедливы 8 свойств, указанных для операций с геометрическими векторами. Пусть заданы векторы называется линейной комбинацией заданных векторов
Определение 2. Система векторов Определение 3. Линейно независимая система векторов линейного векторного пространства Мы знаем, что для геометрических векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения: 1) 3) Определение 4. Пусть в линейном векторном пространстве введена операция, ставящая в соответствие двум векторам число. Такое соответствие, удовлетворяющее условиям 1) – 4) называется скалярным произведением векторов и обозначается символом Определение 5. Линейное векторное пространство Можно доказать, что элементов базиса линейного векторного пространства не зависит от выбора базиса. Это число и называется размерностью такого пространства. Линейное пространство может быть бесконечно мерным. Отметим, что Мы знаем, что наиболее удобными базисами на плоскости и в пространстве являются системы взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Евклидовы пространства замечательны тем, что при наличии произвольного базиса из Определение 6. Базис в евклидовом линейного векторного пространства
Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП Под функцией мы понимаем отображение одного множества на другое. До сих пор мы рассматривали функцию вида Под функцией нескольких переменных мы будем понимать отображение множества в Изучая функцию одной переменной Наша цель – построить и изучить аналогичную теорию для ФМП. Этот раздел посвящен вопросам, связанным с пределами и непрерывностью функций. Давайте вспомним, что такое предел функции одной переменной. Предел функции Для того, чтобы дать это и аналогичные определения для ФМП, надо ввести расстояние между точками – аргументами ФНП (=ФМП). Это делают следующим образом. Пусть начало координат с ортонормированным базисом находится в точке При наличии скалярного произведения, которое гарантированно есть в евклидовом пространстве, можно ввести длину вектора и расстояние между точками евклидова пространства, что позволяет обобщить понятия предела последовательности, предела функции, непрерывности функции на случай ФНП. Длиной вектора
Заметим, что это определение обобщает обычное расстояние между точками на плоскости и в пространстве, известные нам из школы. Пример 1. Расстояние между точками Сформулируем определение предела для последовательности точек в евклидовом пространстве. Определение 1. Пусть задана последовательность точек Пример 2. Заметим, что условию Сформулируем определение предела для ФНП. Определение 2. Пусть задана функция Это определение соответствует определению предела функции одной переменной по Коши, которое эквивалентно определению предела функции по Гейне. Формулировка определения предела функции по Гейне, которая сохраняется для функции нескольких переменных, заключается в записи
Перейдем к определению непрерывности ФНП. Здесь полностью сохраняются формулировки определения непрерывности для функции одной переменной. Функция непрерывна в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке. Запишем это формально. Определение 3. Пусть задана функция Соответственно функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пример 3. Найдите пределы функций: а) Решение. Докажем, что
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|