 |
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
|
|
|
|
На многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди поступает поток заявок с интенсивностью λ, интенсивность обслуживания каждого канала μ. Размеченный граф состояний представлен на рисунке.
Граф СМО имеет бесконечное число состояний:
S0 - все каналы свободны, k= 0;
S1 - занят один канал, остальные свободны, k = 1;
S2 - заняты два канала, остальные свободны, k = 2;
…………………
Sn - заняты все n каналов, k = n, очереди нет;
……………….
Sn+1 - заняты все n каналов, одна заявка в очереди,
Sn+r - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k = n + r;
Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m → ∞.
Сумма геометрической прогрессии в выражении для р0 расходится при уровне загрузки р/n ≥1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n < 1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО, для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:
Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:
ротк = 0; Q =1; A = λ·Q =λ;
среднее число заявок в очереди – 
;
среднее время ожидания в очереди – 
среднее число заявок в СМО – Lсмо = Lоч + ρ.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии So, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением
Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания.
Вероятность занятости обслуживанием к заявок – 
.
На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием. 
.
Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением 
|
|
|
Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием. 
Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно: 
среднее время ожидания заявки в очереди начала обслуживания: 
;
среднее время пребывания заявки в СМО – 
среднее число занятых каналов обслуживанием равно - 
среднее число свободных каналов - 
коэффициент занятости каналов обслуживанием - 
среднее число заявок в СМО - 
Важно заметить, что параметр р характеризует степень согласования входного потока, например, покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при р < n. Если же р ≥ n, в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания, и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.
Пример 1. В столовой к узлу расчета поступает пуассоновский поток посетителей с интенсивностью λ = 120 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного посетителя составляет Тобс = 1,0 мин. Определим оптимальное число контролеров-кассиров n0, при котором общие издержки С, определяемые затратами, с одной стороны, на содержание контролеров-кассиров Сио, а с другой - пребыванием посетителей в очереди Сип, были бы минимальны.
На этом основании целевую функцию можно записать так:
С=(Сио + Сип) → min
Издержки Сио определяются числом каналов обслуживания n, величиной затрат, связанных с содержанием в системе одной обслуживающей единицы в течение одной единицы времени Ск (руб./ч) и интенсивностью входного потока λ.
Сип определяются величиной удельных потерь Cоч связанных с пребыванием в очереди одного покупателя в течение единицы времени и средним временем ожидания в очереди Точ. Тогда целевую функцию затрат, связанную с пребыванием покупателей в системе в течение единицы времени, можно записать так:
|
|
|
C = (Cк·n·1/λ + Соч tоч) → min,
Для удобства проведения вычислений предположим, что Соч/Ск = 3/1, что позволит определить соотношение стоимостей обслуживания для разных вариантов организации системы. Для наглядности решения задачи построим график целевой функции С = f(n), по которому найдем минимум затрат, величина которого укажет на оптимальную численность контролеров-кассиров.
Следует заметить, что длина очереди - один из основных показателей эффективности СМО. Причем если длина очереди в системе может бесконечно возрастать, то рациональной организации системы нельзя получить. Только при условии р < n очередь может быть конечна, т. е. число заявок, поступающих в СМО за промежуток времени, равный средней длительности обслуживания То6с, меньше числа обслуживающих каналов. Это обусловлено вероятностным характером как потока заявок, так и временем их обслуживания. Поэтому о рациональности варианта организации СМО можно рассуждать лишь в том случае, если n > р. Поскольку из условия задачи следует, что интенсивность нагрузки р = λ/μ = 2, то вычисления показателей системы следует начать с n = 3.
Сначала определяем долю времени простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня, т.е. при условии отсутствия покупателей.
Следовательно, 3 контролера-кассира будут простаивать 11 % времени от всей продолжительности рабочего дня.
Результаты вычислений
Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми определяется по формуле Эрланга.
Вероятность оказаться в очереди -
среднее число покупателей, находящихся в очереди, -
среднее время ожидания покупателями в очереди начала обслуживания -
относительная величина затрат для n = 3 и Соч = 3Ск составляет:
среднее время пребывания посетителя в узле расчета –
среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров-
среднее число свободных контролеров-кассиров –
Коэффициент занятости контролеров-кассиров обслуживанием, т. е. нагрузка на одного контролера-кассира, или доля занятых обслуживанием каналов, составляет
Среднее число покупателей в узле расчета -
абсолютная пропускная способность узла расчета в столовой -
|
|
|
Затем проводим аналогичные вычисления по определению перечисленных показателей для других значений n = 4, 5, 6, 7
Оптимальное число контролеров-кассиров в узле расчета n° = 4 для соотношения Соч: Сk = 3: 1, при этом общие затраты будут минимальными.
Графическая модель связи относительно затрат СМО и числа кассиров
Для целей расширения анализа проведены вычисления для разных вариантов соотношения Соч: Ck = 4,5, которое, влияет на оптимальную численность контролеров-кассиров.
|
|
|
