 |
Многочлены с вещественными коэффициентами
|
|
|
|
Многочлены и их корни
1. Многочлены: основные понятия
Теория многочленов является развитием той части школьного курса алгебры, которая начинается решением уравнения первой степени с одной неизвестной и находит своё продолжение в теории квадратных уравнений и в решении некоторых видов уравнений более высоких степеней.
Общий вид уравнения n -й степени (n – натуральное число) есть
.
Обыкновенно изучение уравнений сводят к их решению. Однако представляет интерес более общая задача изучения левой части этого уравнения. При этом нам пригодятся комплексные числа.
Определение 1. Многочлен (полином) n-й степени от переменной x – это выражение вида
 .
| (1) |
В определении нет ограничений на вид коэффициентов 
. В общем случае они могут быть и комплексными числами (
). То же самое можно сказать о переменной x.
Многочлен (1) записан по убывающим степеням неизвестной x. При необходимости можно использовать и другие формы записи, например, по возрастающим степеням x.
Из определения следует, что любое число (кроме 0) можно рассматривать как многочлен нулевой степени (
можно трактовать как коэффициент при 
). Число 0 также можно рассматривать как многочлен, но это единственный многочлен, степень которого не определена.
Для сокращённой записи многочленов используют обозначения 
, 
, 
и т.п. При необходимости указать в сокращённой записи степень многочлена, пишут 
, 
, 
и т.п. В этой форме записи отражён тот факт, что многочлен можно рассматривать и как функцию переменной x.
Определение 2. Равные многочлены – это многочлены, у которых равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной x.
Определение 3. Корень многочлена – это такое число c (в общем случае комплексное), при подстановке которого вместо переменной x многочлен обращается в нуль.
|
|
|
Иными словами, (
– корень ) 
.
Теорема (Безу). Если многочлен разделить на линейный многочлен 
, то остаток от деления будет равен значению многочлена при 
, то есть 
.
Математически:
, где 
.
Важное следствие из теоремы Безу: число с тогда и только тогда является корнем многочлена, когда этот многочлен делится на 
, то есть когда остаток 
.
Основная теорема алгебры и следствия из неё
Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Эту теорему, впервые доказанную Гауссом в конце XVIII века, мы принимаем без доказательства.
Рассмотрим следствия из основной теоремы.
Следствие 1. Если 
– корень многочлена 
, то многочлен можно разложить на произведение линейного множителя 
и многочлена (n – 1)-й степени:
.
Следствие 2. Если многочлен n -й степени, то его можно разложить в произведение n линейных множителей (
– коэффициент при 
):
 .
| (2) |
Доказательство можно провести, применяя последовательно n раз следствие 1 к многочленам , возникающим при выделении линейных множителей.
Среди корней 
могут быть равные корни и, следовательно, среди множителей 
– равные множители. Объединим равные множители. Тогда разложение (2) можно переписать в виде
 ,
| (3) |
где 
и среди корней 
уже нет равных. Говорят, что 
– кратность корня 
в многочлене .
Следствие 3. Если – разложение многочлена на линейные множители, то с точностью до порядка сомножителей это единственное разложение такого типа.
Следствие 4. Если – многочлен n -й степени , то он имеет n корней (если каждый корень считать столько раз, какова его кратность).
Формулы Виета
Рассмотрим многочлен
 .
| (4) |
Если – его корни, то можно представить в виде
|
|
|
 .
| (5) |
Перемножая линейные множители и сравнивая коэффициенты в (4) и (5), получаем формулы Виета:
;
;
;
………………………………………………
;
.
При 
эти формулы Виета для многочлена 
приобретают привычный со школы вид (
и 
– корни многочлена):
; 
.
При 
получим формулы Виета для кубического многочлена 
:
; 
; 
.
Многочлены с вещественными коэффициентами
Всё, что было сказано выше, справедливо для многочленов, у которых коэффициенты произвольные числа, в частности, и комплексные. Перейдём к рассмотрению более узкого, но практически важного класса многочленов – многочленов с вещественными коэффициентами.
Определение. Многочлен с вещественными коэффициентами – это многочлен, у которого все коэффициенты 
– вещественные числа.
Теорема. Если комплексное число 
– корень многочлена с вещественными коэффициентами , то сопряжённое число 
также является корнем данного многочлена.
Иными словами, комплексные корни многочлена попарно сопряжены.
Теорема. Если комплексные числа 
– корни многочлена с вещественными коэффициентами , то их кратности равны.
Теорема. Если – многочлен с вещественными коэффициентами, то его можно представить (и притом единственным с точностью до порядка множителей образом) в виде произведения старшего коэффициента , линейных 
и квадратичных 
множителей:
 .
| (6) |
Достаточно очевидно, что в этом разложении линейные множители соответствуют вещественным корням многочлена ( – кратность корня ). Квадратичные множители соответствуют парам сопряжённых комплексных корней 
и 
, причём в соответствии с формулами Виета 
, 
(
– кратность корней и ). Очевидно, что 
.
Определение. Неприводимый многочлен – это многочлен с вещественными коэффициентами, который невозможно разложить на произведение многочленов с вещественными коэффициентами меньшей степени.
Среди многочленов с вещественными коэффициентами и с 
неприводимыми являются лишь линейные и частично квадратные многочлены. Среди квадратных многочленов неприводимыми являются те, которые не имеют вещественных корней. Например, многочлен (6) представлен в виде произведения неприводимых многочленов.
|
|
|
