 |
Общий вид самосопряж диф оператора 2-ого порядка с вещ коэф.
|
|
|
|
Основное неравенство для симметричного интегрального оператора
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) – резольвента интегрального оператора 
(8)
(9)
(10)
Выберем μ вещественно положительным и меньшим собств. значениям оператора 
(11)
(12)
(13)
(14)
В равенстве (12) правая часть содержит не отрицательные слагаемые, их сумма не отрицательна
(15)
(16)
(17)
(18) – это неравенство наз основным неравенством для симметричного интегрального оператора
70.Пример вычисления преобразования Фурье.
(1)- функция Грина.
Рассмотрим функцию вида:
(2)
(3) отсюда следует
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
| F(k) | 
|
| 
|
(9)
(10)
Обратное преобразование дает исходную функцию.
Переход от экспоненциального ряда Фурье к интегралу Фурье.
(1)
(2)
(3)
Если подставить (3) в (2), то получим:
(4)
С увеличением l расстояние между 
уменьшается.
(5)
(6)
(7)
l стремиться к 
, а 
к 0.
(8)
(9) – интегральная формула Фурье
(10)
(11) – прямое преобразование Фурье
(12) – обратное преобразование Фурье
Замечание:
(13)
(14)
Если в преобразованиях Фурье ввести замету 
, то получим:
(15)
(16)
Многократные преобразования Фурье
Зафиксируем 
, тогда:
(1)
(2)
(3)
(4)
Если подставить (3) в (1), то
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Если n измерений, то
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Случай когда есть одна временная переменная и 3 переменных по координате:
(18)
(19)
Однородная задача Коши для ур-ния теплопроводности и преобразование Фурье
(1)
(2)
Ищется температура в бесконечно длинном стержне в каждый момент времени.
(3)
(4)
Применим это преобразование Фурье для нашей задачи:
(5)
(6)
Если (5) и (6) подставить в ур-ние (1), то получим:
(7)
(8) – результат применения преобразования Фурье
|
|
|
(9)
(10)
(11)
(12)
подставим в (3) и получаем:
(13)
(14) – функция Грина однородной задачи Коши для ур-ния теплопроводности
(15)
Явный вид функции грина и решение однород задачи Коши для ур-ния теплопроводности.
(1) – явный вид однородной задачи Коши
(2)
Функция Грина, полученная в виде (1) имеет след интересное св-во:
(3)
Независимость этой величины от времени означает закон сохранения энергии.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
| F(k) |
|
|
(11)
Решение однород задачи Коши для ур-ния колебаний методом преобразования Фурье
(1)
(2) –НУ
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Подставляя (10) в (3) получаем окончательно:
(11)
Определим функцию Грина однород задачи Коши для ур-ния колебаний след образом:
(12) – это и есть функция Грина однород задачи Коши для ур-ния колебаний.
(13)
(14)
49. Метод разделения переменных для ур-ний с переменными коэф.
(ГУ) (1);
= 
(2) – оператор вычисления второй производной;
(ГУ) (3)
Для стержня переменного сечения:
с(x) 
(4)
Рассмотрим случай когда источников тепла нету и температура среды=0:
с(x) 
(5).
;
Подставим и преобразуя выражение получим:
;
с(x) 
- 
(8);
(9) – ГУ
Задачи на СЗ для матричных операторов.
L- матрица размера n*n
=λ 
= 
(1)
Λ есть СЗ матрицы L, а вектор 
есть СВ.
=0 (2)
det 
(3) – условие разрешимости
(-λ)ⁿ+SpL 
+…+detL (4)
Основная теорема алгебры: всякое алгебраическое ур. n -й степени имеет ровно n- корней с учетом их кратности.
Запишем с помощью индексов:
; 
= 
(5)
Тогда получаем:
(6)
Преобразуем во 2-ом равенстве в левой части, тогда получим:
= 
Условие вещественности:
λ = 
= (8) –выполняется всегда, если 
(9)
Достаточным условием для λ = явл .
=L (10) 
(11)-эрмитово сопряжение матрицы
L 
λ 
(12)
Матрица, кот совпадает со своей эрмитово-сопряженной матрицей,наз эрмитовой.
Матрицы Паули явл эрмитовыми:
(13)
Св-ва:
(14); 
(15);
P=LM (16); 
(17); 
(18); 
(19)
|
|
|
(20)
Ортогональность СВ эрмитовой матрицы.
L – эрмитова матрица.
Справедливы соотношения переброса
|U> -столбец <U|- строка
<v|Lu>=< 
<Lv|u>=<v| 
для люб матрицы
= 
(2)
Для эрмитовой матрицы соотношения переброса запишутся в след виде:
< v|Lu>=< 
(3)
(4)
| 
>; 
(5)
(6)
L
Если в (6) из первого вычтем второе, то получим:
0=(λ₁-λ₂)<v|u > (7) <v|u> =0 (8)
Сопряженные и самосопряженные диф операторы.
(1)
Определим сопряженный диф. оператор след. тезисами:
1) 
=f(x) то 
= 
(2)
2) 
то 
(3)
3) 
то 
= ₁+ ₂(4)
4) 
то = ₁ ₂ (5)
Рассмотрим примеры: 1) =i 
(6)
i 
(7)
2) 
(8)
(9)
3) 
(10)
Операторы, совпадающие с сопряженными наз самосопряженными операторами.
Общий вид самосопряж диф оператора 2-ого порядка с вещ коэф.
= 
(1) – общий вид
-вещественны
; 
(3)
Используя это мы имеем:
= 
+ 
(4);
Чтобы (1) совпадала с (4) должны выполняться след равенства:
(5)
(6)-единственное условие для вещ коэф = 
; 
(7)
Таким образом, получаем общую ф-лу в след виде:
(8) -общий вид самосопряженного диф. ур-я 2-го порядка с веществ коэф.
= 
(9)
Эрмитовы диф операторы.
L
- соотношения переброса
Диф. оператор 
наз. эрмитово сопряженным к оператору L, если для любых 2 функций из рассматриваемой системы выполняется соотношение переброса.
<v(x)|L̂u(x)>=< 
<v(x)| 
(x)>=< L̂v(x)| 
(1)
Оператор L наз. эрмитовым, если он совпадает со своим эрмитово сопряженным т.е. если выполняется соотношение переброса
<v(x)|L̂u(x)>=< 
(2)
<v(x)|L̂u(x)>= 
(3);
<v|L̂u>=< 
(4);
=0 (5)условие эрмитовости для диф операторов
|
|
|
