 |
Задачи на построение геометрических фигур с помощью линейки и циркуля
|
|
|
|
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осямикоординат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, накаждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правостороннейсистеме координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° еёположительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV),образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами.
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезкаOB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяютсялиниями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называетсяабсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).
Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точкаA лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Еслиточка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка Aлежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярнымиосями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началомкоординат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измеренияотрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ —ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовойстрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этотповорот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называетсяправой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, асредний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой рукиобразуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобысовпали соответствующие оси.
|
|
|
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длинеотрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицахизмерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельноплоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственноКоордината x называется абсциссой точки A, координата y —ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).
Задачи на «масштаб»
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
В соответствии со своим масштабом карты так и называют: пятитысячная, десятитысячная и т.д.
Пятитысячная карта, т. е. карта с масштабом 1:5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Но мы не меряем расстояния на местности в сантиметрах. Переводим 5000 см в метры. Так как 1 м = 100 см, то 5000см = 50 м. Следовательно, 50 м на местности изображены на пятитысячной карте отрезком, равным 1 см. Что же можно изобразить на пятитысячной карте? Например, наш сквер, имеющий прямоугольную форму с размерами 600 м х 200 м (длина сквера 600 метров, а ширина 200 метров). На карте с масштабом 1:5000 сквер будет изображен прямоугольником длиной 12 см (600:50=12) и шириной 4 см (200:50=4).
|
|
|
На десятитысячной карте, т.е. карте с масштабом 1:10000 можно изобразить лесопарк. 1 см на этой карте означает 10000 см или 100 м на местности.
Как «читать» эту карту? Найдем расстояние между интересующими нас объектами в сантиметрах и умножим на 10000 (см), а затем переведем в метры.
На двадцатипятитысячных, пятидесятитысячных картах изображают небольшие населенные пункты.
На стотысячных, двухсоттысячных картах можно изображать крупные города.
Одному сантиметру стотысячной карты соответствуют 100 000 см на местности. Переведем в метры: 100 000 см = 1000 м, а затем в километры: 1000 м=1 км.
Итак, 100 000 см=1 км. Сделаем вывод: чтобы перевести число сантиметров в километры, нужно разделить это число на 100 000 (или просто «убрать» пять нулей). Теперь нам проще будет представить масштабирование 1:100 000. На 1 см на карте приходится 1 км на местности. Если расстояние от вашего города до дачного поселка составляет 10км (по прямой!), то на стотысячной карте это расстояние представляет собой отрезок длиной 10см.
На двухсоттысячной карте (М=1:200 000) в 1 см изображается фактическое расстояние, равное 2 км (200 000 см=2 км).
На трехсоттысячной карте с масштабом 1:300 000 под каждым сантиметром подразумевают фактическое расстояние в 3 км (300 000 см=3 км).
На пятитысячной карте 1 см соответствует 5 км на местности.
На миллионной карте 1 см соответствует 10 км на местности. На таких картах изображают области, края.
А на каких картах можно изобразить страны? Обычно карты стран, Республик имеют масштаб 1:8 000 000 или 1: 10 000 000.
Большая карта Мира, которую вы изучаете в школе, имеет масштаб 1: 25 000 000.
Чтобы напечатать эту карту в атласе нужно ее уменьшить. И тогда масштаб карты Мира в атласе может составить 1: 60 000 000 или 1:75 000 000, если атлас будет поменьше.
Задача на масштаб. Расстояние между г.Кемерово и Москва равно 3000 км. Масштаб 1: 20 000 000. Решение: 1: 20 000 000 = х: 300 000 000 Х=15см. Расстояние между городами Кемерово и Москва на карет равно 15 см на карте. Ответ: 15 см.
Задача 2
Задачи на построение геометрических фигур с помощью линейки и циркуля
|
|
|
Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).
Рис.1
Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.
Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < b + с).
Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
Рис.2
Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.
Рис.3
Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С1. Опишем окружность с центром С1 и радиусом ВС. Точка В1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ1С1 (третий признак равенства треугольников).
Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).
Рис.4
Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).
|
|
|
