 |
Постановка задачи оптимизации в общей форме.
|
|
|
|
План
Чтения лекции по учебной дисциплине
«Математические методы»
Раздел № 1. Математические модели и их виды.
Тема № 1.1. Основные понятия и определения моделирования.
Занятие № 1-2.
Учебные и воспитательные цели: изучить основные понятия моделирования: операция, решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.
Время 15-40 – 17-00.
Место проведения: аудитория.
Учебные вопросы: Введение. Оптимальное решение. Основные понятия и определения оптимизации. Постановка задачи оптимизации в общей форме.
Литература:
1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.
2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001
Учебные вопросы и расчет времени
| №п/п | Учебные вопросы | Время, мин | Методические указания |
| 1. 2. 3. 4. | Введение. Оптимальное решение. Основные понятия и определения оптимизации. Постановка задачи оптимизации в общей форме. |
1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования.
2. Основная часть.
Введение.
Человек всегда принимал решения и всегда хотелось, чтобы они были правильными, оптимальными.
Предмет математические методы тесно переплетается с математическим моделированием, исследованием операций, так как в исследовании операций и математическое моделирование практически всегда используются математические методы решения задач, моделирования систем и анализа их характеристик.
Исследование операций – это использование математических и количественных методов для обоснования решения.
Исследование операций решает типичные экономические задачи:
|
|
|
1. План снабжения предприятия сырьем.
Задача. Имеется n предприятий, m баз с ресурсами, запасы каждой базы ограничены. Требуется разработать план снабжения предприятия сырьем при минимальных расходах при перевозке.
2. Закладка дороги.
Задача. Имеется заданное количество рабочих, машин, транспорта. Требуется спланировать строительство дороги в минимально возможные сроки.
3. Продажа сезонных товаров.
Задача. Для реализации сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется определить их число, размещение, запасы, количество персонала для получения максимальной прибыли.
4. Контроль продукции.
Задача. Выпускается определенный вид продукции. Для контроля качества организуется выборочная проверка. Требуется определить размер партии и правила проверки при минимальных расходах на контроль.
Оптимальное решение.
Оптимизация – это выбор наилучшего решения. Математическая теория оптимизации включает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полного перебора и сравнения.
Принятие оптимальных решений базируется на «трех китах»:
§ Математической модели;
§ Решение задачи на компьютере;
§ Исходных данных.
Математическое моделирование имеет два существенных преимущества: дает быстрый ответ на поставленный вопрос, предоставляет возможность широкого экспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастую невозможно. Для решения оптимизационных задач используются количественные методы решения. Применяют математический аппарат разной степени сложности: простые алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных.
Алгоритмы задач принятия решений настолько сложны, что без компьютера решить их невозможно.
|
|
|
Исходные данные определяют успех дела в целом.
Основные понятия и определения оптимизации.
Операция – это мероприятие, направленное на достижение какой-то цели.
РЕШЕНИЕ – это определенный набор зависящих от нас параметров и действий.
ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ – это решение более предпочтительное перед другими по некоторому критерию.
ЭЛЕМЕНТЫ РЕШЕНИЯ – это те параметры, которые образуют решение задачи.
ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ – это некоторые количественные критерии, по которым сравнивают решения между собой, его называют целевой функцией. Обозначается W.
Примеры выбора показателя эффективности.
Задача 1: если Р – суммарные расходы на перевозку сырья, то показатель эффективности Р → min.
Задача 2: среднее ожидаемое время окончания стройки Т, тогда показатель эффективности Т → min.
Задача 3: П – прибыль от реализации продукции, критерий эффективности Т → max.
В большинстве задач на практике критерий эффективности выбрать очень сложно, так как эффективность в реальной жизни определяется не одним критерием, а нескольким.
Все задачи можно разделить на прямы и обратные.
ПРЯМЫЕ задачи отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях выбрать некоторое решение Х.
ОБРАТНЫЕ задачи отвечают на вопрос: какое решение Х надо выбрать, чтобы показатель эффективности W был max или min.
Постановка задачи оптимизации в общей форме.
Пусть имеется некоторая операция О, на успех которой можно влиять, выбирая некоторым способом, решение Х, эффективность операции характеризуется одним показателем W → max. Когда все условия операции О определены заранее, то все факторы, от которых зависит успех операции делятся на две категории: заданные, заранее известные факторы α; зависящие от нас элементы решения, которые образуют решения х.
Показатель эффективности зависит от обеих групп факторов и выражается формулой:
W = W(α, x), (*)
в общем случае α, x – векторы (совокупность чисел). Если зависимость (*) известна, то прямая задача решена.
Обратная задача формулируется так: при заданном комплексе условий α требуется найти такое решение х = х*, которое обращает показатель эффективности W в max.
W* = max{W(α, x)}, где W*- мах. W* - это максимальное значение эффективности при найденном оптимальном решении х*.
|
|
|
