Тема 1.2. Основные физические характеристики жидкостей и газов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»

Набережночелнинский филиал

Кафедра конструирования и технологии машиностроительных производств

 

Конспенкт Лекций

Гидравлика

индекс по ФГОС ВПО (учебному плану) Б3.Б.8

Направление 151900.62 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»

Вид профессиональной деятельности производственно-технологическая

Профиль подготовки Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

 

 

Разработал: доцент кафедры КТМП, к.т.н. А.В.Шапарев

 

 

Набережные Челны

2015 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Модуль 1. ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ.. 4

Тема 1.1. Введение, основные понятия. 4

Тема 1.2. Основные физические характеристики жидкостей и газов. 5

Тема 1.3. Гидростатика. 6

Тема 1.4. Основы кинематики и динамики. 21

Модуль 2. ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ.. 24

Тема 2.1. Гидравлические сопротивления в потоках жидкостей и газов. 24

Тема 2.2. Истечение жидкости из отверстий и насадков. 38

Тема 2.3. Решения задач гидравлики. 42

 

 

 

Модуль 1. ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ

Тема 1.1. Введение, основные понятия

 

Гидравлика - отрасль механики, изучающая законы равновесия и движения жидкостей и разрабатывающая способы применения этих законов к решению практических задач.

Гидравлика делится на две части: гидростатика и гидродинамика. Первая изучает законы покоящейся жидкости, а вторая – законных их движения. Гидравлика тесно связана с физикой, теоретической механикой и математикой.

Ввиду сложностей явлений, наблюдающихся в движущейся жидкости, в гидравлике прибегают к экспериментам, обобщая которые получают эмпирические зависимости.

В гидравлике рассматривают потоки жидкости, ограниченные и направленные твердыми стенками.

Из сочинений древнего мира, посвященных вопросам гидравлики, наиболее значимым является трактат Архимеда «О плавающих телах», написанный примерно за 250 лет до н.э. Далее следуют работы Леонардо да Винчи (1452 – 1519 г.г.), который занимался теорией плавания тел и истечением жидкостей из отверстий. Дальнейшие работы в области гидравлики связаны с именами Г. Галилея, Б. Паскаля, И. Ньютона и других.

Прежде чем перейти к изучению основных физических свойств жидкости, остановимся на единицах измерения, принятых в гидравлике:

 

Ø объемный расход [ м³/c ]

Ø массивный расход [ кг/с ]

Ø скорость течения [ м/с ]

Ø ускорение [ м/с³ ]

Ø сила [ Н ]

Ø давление, напряжение, модуль упругости Н/м² [ Па ]

Ø динамическая вязкость [ Па ^. с ], [ Н ^. с/м² ]

Ø кинематическая вязкость [ м²/с ]

Ø плотность [ кг/м³ ]

Ø удельный вес [ Н/м³ ]

Ø работа [ Дж, Н ^. м ]

Ø мощность [ Вт ]

 

Основные физические свойства жидкости

Жидкость. Физические тела, состояние которых находится в промежуточной фазе между твердыми и газообразными, называются жидкостями. Жидкость обладает следующими свойствами:

- Она мало изменяет свой объем при изменении давления и температуры; в этом она схожа с твердым телом.

- Обладает текучестью, благодаря чему жидкость не имеет собственной формы и принимает ту, куда она налита; в этом она сходна с газом.

Жидкости, встречающиеся в природе – реальные – столь мало изменяют свой объем при обычном изменении давления и температуры, что этими изменениями можно пренебречь. Поэтому в гидравлике жидкости рассматривают как абсолютно несжимаемое тело.

В том случае, когда жидкость находится в покое, внутри ее отсутствуют касательные напряжения. В движущейся жидкости они имеют место: при движении по поверхностям скольжения жидких слоев друг о друга, возникает трение и уравновешивает внутренние касательные силы.

При аналитических исследованиях часто пользуются понятием идеальной жидкости.

Идеальной жидкостью называют воображаемую жидкость, которая характеризуется:

- абсолютной несжимаемостью объема;

- полным отсутствием вязкости, т.е. сил трения.

В поящейся жидкости нет необходимости вводить понятия реальной и идеальной.

В движущейся жидкости – учитывают силы трения, т.е. вязкость.

 

Тема 1.2. Основные физические характеристики жидкостей и газов

1. Плотность жидкости «ρ». Плотностью называют отношение ее массы к объему:

ρ = m/V [ Н ^. с²/м⁴, кг/м³]

 

m – масса жидкости, V – объем жидкости. Если жидкость неоднородна, то идет речь о средней плотности; плотность же в точке равна:

 

ρ = lim Δm/ΔV при ΔV ---> 0

 

2. Вес единицы объема жидкости (удельный вес или объемный вес)

 

r = G/V [H/м³]

 

Для однородной жидкости r есть отношение веса жидкости к ее объему.

Ньютон представляет собой силу, которая массе в 1 кг сообщает ускорение в 1 м/с²; Н = кг ^. м / с²

Вес единицы объема при 4 ⁰С воды:

 

ρ = 9810 Н/м⁹ G = rV, а G = gm

g – ускорение свободного падения тела (ускорение силы тяжести)

 

rV = gm = ρgV, r =ρg, а ρ=r/g

 

3. Сжимаемость (или объемная упругость) жидкости.

Упругой сжимаемостью жидкости называется ее способность принимать свой прежний объем V после снятия внешней нагрузки.

В качестве меры упругого сжатия жидкости принимают величину:

 

К = - ΔPV/ΔV [ ]

 

К – называют модулем объемной упругости жидкости. Для воды К=22^.10⁵ к Па ≈ 220 КН/м²

4. Расширение при повышении температуры – характеризуется коэффициентом температурного расширения β_t. Этот коэффициент показывает относительное изменение объема при увеличении температуры на один градус:

 

β_t = 1/V ^. dV/dt

 

5. Вязкость – способность жидкости оказывать сопротивление скольжения одного ее слоя относительно другого.

Допусти, что жидкость занимает пространство между двумя горизонтальными пластинками, из которых нижняя неподвижна (U_н=0), а верхняя перемещается с постоянной скоростью U_в.

Через некоторое время частицы, ближе к верхней пластинке приобретают скорость большую, чем частицы удаленные от нее.

Разность скоростей движения слоев «а» и «в» равна:

 

du = U_a – U_в

 

Между этими слоями возникают силы трения: Т_в – сила, ускоряющая движение слоя «в», а Т_а – сила, тормозящая перемещение слоя «а».

 

Т = ± МS du/dn или T/S = τ =± M du/dn,

 

где Т – сила трения; М – коэффициент динамической вязкости, т.е. коэффициент, характеризующий свойства данной жидкости; S – площадь поверхности соприкосновения слоев; du/dn – градиент скорости по нормам (du – скорость движения одного слоя относительно другого; а dn – расстояние между осями двух смежных слоев); τ – напряжение сил трения, возникающих на поверхности соприкосновения слоев. Знак + – принимают в зависимости от изменения градиента скорости.

Коэффициент динамической возможности, М равен:

 

М = Т/S ^. dn/du [H^. c/ м² или кг/м ^. с]

1 H ^. c/ м² = 10 n3; 1n3 = 0,1 H ^. c/ м²

 

Коэффициент М данной жидкости зависит от температуры.

Для расчетов часто принимают коэффициент кинематической вязкости ν, представляющий собой отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:

ν = М/ρ [ H ^. м ^. с/кг или м²/с]

ν данной жидкости зависит от температуры.

 

Тема 1.3. Гидростатика

Силы действующие в жидкости.

 

Все силы действующие на частицы жидкости можно разделить на две группы: внешние силы и внутренние силы упругости.

Внутренними силами упругости называются силы взаимодействия между частицами жидкости.

Внешние силы – силы, приложенные к частицам рассматриваемого объема жидкости со стороны других тел, в частности со стороны жидкости, окружающей данный объем.

Внешние силы делятся на массовые и поверхностные.

1. Массовыми силами называются такие, величина которых пропорционально массе жидкости. Эти силы действуют на все частицы рассматриваемого объема жидкости.

При ρ = const, величина массовых сил пропорциональна объему жидкости, поэтому их можно назвать объемными.

К этим силам относится собственный вес жидкости и силы инерции.

2. Поверхностными силами называют такие, величина которых пропорциональна поверхности, на которую действуют эти силы. К числу таких сил относятся:

а) сила абсолютного давления, действующего на свободной поверхности;

б) силы трения.

 

Гидростатическое давление.

В гидростатике изучают жидкость, находящуюся в покое. Касательные напряжения в ней равны нулю. Считается также, что жидкость неспособна сопротивляться растягивающим усилиям. Поэтому будем считать, что в любой точке жидкости имеется только нормальное напряжение σ = σ_н

Гидростатическим давлением в данной точке называют скалярную величину, равную значению напряжения в рассматриваемой точке:

 

ρ = |σ|, где |σ| - значение напряжения

 

Гидростатическое давление можно пояснить следующим образом. Возьмем произвольный объем жидкости, внутри которого отметим ^. А, через которую проведем произвольную поверхность ВС.

Эта поверхность расчет объем на две части I и II. Выделим у точки А на поверхности ВС площадь S. На эту поверхность будет передаваться сила давление со стороны объема I на объем II.

Сила Φ, действующая на площадь S называется силой гидростатического давления. Сила объема I – внешняя поверхностная сила.

 

Р_ср = Φ/S

Р_ср – называется средним гидростатическим давлением

 

Р = ΔΦ/ΔS – напряжение

P = lim ΔΦ/ΔS – гидростатическое давление в точке при ΔS → 0

 

Размерность давления в [ Н/м², Па ]. Окружающий нас воздух действует на нас давлением, которое называют атмосферным:

 

Р_атм = 1т._атм = 9,81 Н/см² = 98100 Н/см²[Па] = 98,1 кН/м² [кПа]

 

Свойства гидростатического давления.

Давление в точке обладает тремя свойствами:

1. Гидростатическое давление в точке действует нормально к площади его воспринимающей и являющееся сжимающим, т.е. оно направленно внутрь того объема жидкости, давление на который мы рассматриваем.

В движущейся жидкости при наличии касательных напряжений возникла бы необходимость доказывать это свойство. Здесь же ее нет.

2. Величина давления в рассматриваемой точке не зависит от ориентации площадки, т.е. как бы не располагалась площадка давление всегда направлено к ней нормально.

3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве. Это свойство специального доказательства не требует, т.к. ясно, что по мере погружения точки под уровень жидкости давление будет возрастать, и наоборот.

 

Р = φ (х, у, z)

 

Лекция №2

Дифференциальные уравнения равновесия

жидкости (ур. Эймра). Поверхности равного

давления. Основные уравнения и закон

гидростатики.

 

Выделим в жидкости, находящийся в равновесии, элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и центром Н. Рассматриваемый объем находящийся в равновесии под воздействием:

- поверхностных сил давления, направленных внутрь параллелепипеда нормально к его граням;

- объемных (массовых) сил, действующих на каждую частицу жидкости.

Р – гидростатическое давление в т. Н. Учитывая непрерывность изменения давления в жидкой среде и пренебрегая величинами бесконечно малыми, стремящихся к нулю при уменьшении выделенного объема до размеров точки, определим среднее гидростатическое давление на соответствующих гранях; изменение величин давления, приходящихся на единицы длинны ММ представим частной производной σP/σx.

На грани АВСD действует давление: P - σP/σx ½ dx; на грани EKNG: P+ σP/σx ½ dx.

Сила давления определяется соответственно как произведение давления в центре тяжести на площадь действия этого давления.

Массовая сила dF=dm ^. j, проекция этой силы по координатным осям F_x, F_y, F_z; dm=ρ dx dy dz.

Составим уравнение равновесия в направлении оси ОХ, из которого следует, что проекция всех сил, действующих на выделенный объем, в направлении любой оси (например ОХ) равна 0:

(P - σP/σx ½ dx) dy dz – (P+ σP/σx ½ dx) dy dz + F_xρ dx dy dz = 0

Разделим почленно данное уравнения (т.е. приведем каждый члем к единице массы) на dm = ρ dx dy dz и получим:

 

F_x – 1/ ρ σP/σx = 0

1/ρ σP/σx – единичная поверхностная сила, σP/σx – градиент изменения давления.

Очевидно, что для любого избранного направления:

 

F_н – 1/ρ σP/σx = 0

Можем записать систему уравнений, которая называется общим условием равновесия жидкости:

 

F_x – 1/ρ σP/σx = 0 dx

F_y – 1/ρ σP/σx = 0 dy

F_z – 1/ρ σP/σx = 0 dz

Получена эта система в1755 году членом Российской академии наук Леонардом Эймром.

Умножим полученые уравнения на dx dy dz и сложив их получим:

 

F_x dx + F_y dy + F_z dz = 1/ρ (σP/σx dx + σP/σx dy + σP/σx dz)

Т.к. Р = φ (х, у, z), то выражение в скобках справа представляет собой полный дифференциал давления:

 

dP = ρ(F_x dx + F_y dy + F_z dz)

Это уравнение называют дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Физический смысл этого уравнения: поверхностные силы равны массовым.

Поверхность равного давления.

Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают равное давление.

Уравнение такой поверхности мы можем получить из основного уравнения равновесия жидкости, полагая P=const или dP = 0

Поверхность уровня на границе жидкой и газообразной сред называется свободной поверхностью.

Положение свободной поверхности зависит от сил, действующих на жидкость.

 

Свободная поверхность покоящийся жидкости

Из всех объемных сил на жидкость действует только вес, тогда F_x = 0; F_y = 0; F_z = 0

Дифференциальное уравнение будет представлено в виде:

 

dp = - ρgdz или P = - ρgz + c

Из этого уравнения видно, что поверхность равного давления, на которую действует только вес, будет определяться равенством: z = const, т.е. поверхность будет горизонтальной. Все поверхности равного давления в покоящейся жидкости параллельны друг другу.

Итак: поверхность уровня – горизонтальная плоскость.

Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и не зависят от формы сосуда.

 

Основное уравнение и закон гидростатики

Рассмотрим покоящуюся жидкость в замкнутом цилиндрическом сосуде. На нее действует сила тяжести и внешнее давление на свободной поверхности. Плоскость xoy – плоскость сравнения.

 

 

dP = ρ (F_xdx + F_ydy + F_zdz) из этого уравнения мы получим dp = - ρgdz, а затем P = - ρgz + c, где с постоянная интегрирования. Найдем ее, полагая, что P = P₀ и Z = Z₀ :

с = P₀ + ρgZ₀

P = - ρgz + P₀ + ρgZ₀

P = P₀ + ρgZ₀ - ρgz + P₀

Z + P/ρg = Z₀ + P₀/ρg – основной закон гидростатики.

 

Разность (Z₀ - Z) представляет собой глубину погружения точки А – h:

P = P₀ + ρgh – основное уравнение гидростатики

 

Величина гидростатического давления внутри жидкости P равна внешнему давлению P₀ плюс давление от веса столба жидкости высотой h и площадью равной единице.

Анализируя полученные уравнения, можно записать:

Внешнее единичное давление, приложенное к свободной поверхности жидкости, находящейся в замкнутом сосуде в равновесии, передается всем точкам этой жидкости без изменения. Это положение носит название Закон Паскаля.

- случай открытого сосуда

P_A = P_a + ρgh

P_A > P_a на величину ρgh, эту величину называют избыточным давлением: ρgh = P_изб.

Избыточное давление показывает превышение абсолютного давления над атмосферным. В случае открытого сосуда оно равно весовому ρgh.

- случай замкнутого сосуда

P_A = P₀ + ρgh

P_изб. = P₀ + ρgh - P_a

Избыточное давление в точке А равно разности абсолютного давления в точке А и атмосферного: P_изб. = P_A - P_a

Виды давления

Можно из вышесказанного сделать вывод, что существуют следующие виды давления: атмосферное, абсолютное, избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое. Давление отсчитываемое от условно выбранной горизонтальной плоскости называется абсолютным Р_абс

Избыточное давление положительное, если оно над атмосферным. Это давление называют манометрическим Р_м Если избыточное давление показывает недостаток абсолютного до атмосферного, такое давление отрицательно, его называют вакуумметрическим Р_в

Р_м = Р_абс - Р_атм

Р_в = Р_атм - Р_абс

Вакуум показывает недостаток абсолютного давления до атмосферного.

 

Эпюра давления.

 

Графическое изображение изменения давления по глубине жидкости называют эпюрой давления.

 

Р = Р₀ + ρgh

Проанализируем это уравнение, оно является уравнением прямой линии со свободным членом вида: y = kx + в, где «в» соответствует давлению Р₀ на поверхности жидкости, а угловому коэффициенту «k» - ρg

Форма эпюры зависит от рода жидкости, т.е. угловой коэффициент изменяется.

 

Приборы для измерения давления

1. Простейшим представителем приборов жидкостного типа является пьезометр, измеряющий давление высотой столба жидкости. Он представляет собой трубку диаметром не менее 5 мм, открытую с одного конца, а вторым присоединяется к сосуду, в котором измеряется давление.

P_A = P_a + ρgh

P_A = P₀ + ρgh

P_a + ρgh = P₀ + ρgh

hp = Р_атм - Р_абс / ρg = P_изб / ρg

Пьезометры измеряют давление до 4мм водного столба.

2. Ртутный манометр представляет собой U образную стеклянную трубку, изогнутое колено которой заполняется ртутью. Под действием давления P₀ в сосуде уровень ртути в левом колене манометра понижается, а в правом повышается.

При этом гидростатическое давление в точке А:

P_A = P₀ + ρgh = Р_атм + ρ_рт gh_рт

Ртутный манометр измеряет давление до 30 – 40 кМа.

 

3. Механические манометры. Они используются для измерения больших давлений. Основная деталь такого манометра латунная трубка согнутая по кругу. Сечение трубки имеет форму овала или эллипса. Верхний свободный конец запаян, а нижний присоединен к точке, где измеряется давление. Верхний конец соединен со стрелкой, перемещающейся по шкале.

 

 

4. Вакууметры служат для измерения величины разряжения. Принцип действия один и тот же с вышеописанными.

 

Пьезометрическая высота.

Пьезометрическая высота характеризует давление в линейных единицах. Пьезометрическая высота может отвечать абсолютному и избыточному давлениям.

 

 

Величина h_A = Р_абс / ρg; а h_P = P_изб / ρg, где h_A – высота абсолютного давления, а h_P – высота избыточного давления. h_P – пьезометрическая высота, а плоскость, на которой давление равно атмосферному, называют пьезометрической.

Плоскость сравнения, напор и напорная плоскость.

Для определения взаимного высотного расположения отдельных точек в жидкости используется горизонтальная плоскость, выбранная произвольно, называемая плоскостью сравнения – О-О

Вертикальное расстояние рассматриваемой плоскости от плоскости сравнения называются геометрической высотой и обозначается Z. Плоскость сравнения должна быть горизонтальной, а геометрическая высота положительной.

Р / ρg – называют пьезометрической высотой

Z + Р / ρg = H_s – гидростатический напор, величина которого для покоящейся жидкости постоянна.

 

 

Все члены уравнения имеют линейную размерность.

Гидростатический напор может соответствовать как абсолютному, так и избыточному давлению.

Умножим почленно Z и Р / ρg на g, получим gZ + Р / ρ = H_P. Это уравнение будет определять потенциальную энергию.

Сумма удельной потенциальной энергии положения gZ и удельной потенциальной энергии давления Р / ρ величина постоянная для всех точек покоящейся жидкости.

Плоскость проходящая по уровню жидкости в пьезометрах называется напорной плоскостью.

Сила гидростатического давления на плоскую, произвольно ориентированную фигуру.

Представим открытый сосуд, наполненный жидкость и имеющий наклонную стенку ОМ. На этой стенке наметим оси ox и oy и выделим некоторую наклонную плоскость с площадью W. Развернем эту фигуру. В соответствии с первым свойством гидростатического давления можем утверждать, что во всех точках площади W давление действует нормально. Следовательно сила абсолютного гидростатического давления F_A будет направлена нормально к площади ее воспринимающей.

Найдем:

- Величину силы гидростатического давления F_A

- Положение линии действия силы F_A - y_D

1.Величина силы F_A

Наметим на рассматриваемой плоскости произвольную точку «m», заглубленную под уровень жидкости на величину «h» с координатой «y», где h = y sin d.

У точки «m» выделим элементарную площадку «dW». Сила гидростатического давления на эту площадку равна:

 

dF_A = P dW или dF_A = (P₀+ρgh) dW = P₀ dW+ρgh dW = P₀ dW+ρgy sin d dW

Интегрируя это выражение по площади «W» получаем:

 

F_A = P_o ∫_WdW + ρg sin d ∫_W ydW, ясно, что ∫_WdW = W; ∫_W ydW=S_ox=y_сW, где S_ox -статический момент плоской фигуры относительно оси ох; y_с – координата центра тяжести (т.С) данной плоской фигуры.

 

F_A = P_oW + ρg y_с sin dW, то т.к. y_с sin d = h_с, где h_с – заглубление центра тяжести площадки под уровень жидкости

 

F_A = (P_o + ρgh_с) W или F_A = F₀ + F_изб

Т.к. сила атмосферного давления действует со стороны жидкости и извне, то в случае открытого сосуда: F_A = ρgh_сW или F = ρgh_сW

Сила гидростатического давления (абсолютного или избыточного), действующая на плоскую фигуру любой формы, равна площади этой фигуры, умноженный на соответствующее давление в центре тяжести.

Или т.к. «h_сW» представляет собой объем цилиндра с площадью, основания «W» и глубиной погружения «h_с». Зависимость F = ρgh_сW можно прочитать так:

Сила гидростатического давления на плоскую фигуру равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием «W» и глубиной погружения «h_с».

2. Определение положения линии действия силы F (определение силы давления)

Центром давления называется точка приложения равнодействующей сил давления на некоторую плоскую поверхность.

Точка приложения силы давления от атмосферного давления F_а будет совпадать с центром тяжести площадки (закон Паскаля), y_с

Избыточное же давление (весовое) неравномерно распределяется по площадки, чем точка глубже, или давление больше. Поэтому центр давления силы избыточного давления F_изб. Будет лежать ниже центра тяжести площадки y_D

Искомая сила P является геометрической суммой сил F_а и F_изб. Точка D будет лежать между точками C и D₁ . Эта точка найдется в результате геометрического сложения точек приложения сил F_а и F_изб

Исходя из следующего:

Сумма лимитов составляющих элементарных сил «P₀dW», относительных оси ох равна моменту равнодействующей силы F относительно оси ох.

Это теорема Вариньона.

∑dFy = F ^. y_D или F ^. y_D = ∫_w dFy

dF = (P₀ + ρgh) dW = (P₀ + ρgy sin d) dW

F y_D = ∫_w (P₀ + ρgy sin d) ydW = ∫_w P₀ ydW + ∫_w ρgy² sin d dW=P₀ ∫_w ydW + ρgy sin d ∫_w y² dW;

∫_w ydW = S_x = y_cW; ∫_w y² dW = Y_ox – момент инерции относительно оси ох.

F y_D = ∫_w ydF = P₀ y_с W + ρg sin d Y_ox

F = (P₀ + ρgh_c) W

Найдем y_D:

y_D = P₀ y_с W + ρg sin d Y_ox / (P₀ + ρgh_c) W; Y_ox = y_c²W + y_c

y_c – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести плоской площадки.

y_D = P₀ y_с W + ρg y_c² sin dW + ρg sin d Y_c / (P₀ + ρgh_c) W = Y_c + ρg sin d Y_c / (P₀ + ρgh_c) W

y_c sin d = h_c, раделим правый член уравнения на «ρg»

y_D = y_c + y_c sin d / (P₀/ ρg + h_c) W

- если площади расположены вертикально sin d = 1, тогда y_D=h _D, а y_c=h_c

h _D = h_c + y_c / (P₀/ ρg + h_c) W

y_D = (y_c² + Y_c) / y_с W; y_D = y_c + (Y_c / y_с W)

Центр давления лежит ниже центра тяжести на величину эксцентриситета «ℓ», где ℓ = Y_c / y_с W

Графоаналитический способ определения силы давления и точки ее приложения.

 

Рассмотрим плоскую вертикальную стенку OB с горизонтальным основанием, ширину которого обозначим «в».

На эту стенку будем рассматривать действие избыточного давления, т.к. на поверхности действует атмосферное давление. Наметим на стенке точку «m», давление в которой: Р = ρgh.

Будем перемещать эту точку вниз, при этом давление изменяется подчиняясь линейному закону. В точке «О» при h = 0, Р_изб = 0, а в точке «В»: Р = ρgh.

Построим эпюру давления АОВ и определим силу давления на стенку «ОВ»:

 

F = ρgh_cW, где h_c = h/2, W = hв

F = ρg h/2 (hв) = ρg h²/2 ^. в

 

S_AOB = 0,5 ρg h^2. в, это площадь эпюры гидростатического давления. Следовательно сила давления, определенная графически, равна:

 

F = S_эu в

Сила давления на плоскую стенку равна произведению площади эпюры давления на ширину этой стенки.

 

Определим графический центр давления.

 

Аналитически центр давления определяется после нахождения его координаты:

 

y_D = y_c + (Y_c / y_с W), где y_c = h/2, а Y_c для прямоугольника:

Y_c = в h³/ 12; W = вh

y_D = h/2 + h/6 = 2/3 h

y_D = 2/3 h, т.е. y_D = y_c эпюры давления

 

Линия действия силы гидростатического давления проходит через центр тяжести эпюры давления.

 

 

 

Определение силы давления на

криволинейные поверхности.

Точка приложения силы давления.

Основы гидродинамики.

Выделим на некоторой цилиндрической поверхности АВ элементарную площадку, погруженную на глубину h ее центра тяжести. Давление на поверхности жидкости равно Р₀, а полное гидростатическое давление в центре тяжести площадки «ав» будет равно:

 

Р = Р₀ + ρgh

 

Элементарная сила полного гидростатического давления на площадку dW будет равна:

 

dF = (Р₀ + ρgh) dW

 

Эта сила направлена по нормам к площадке dW и пройдет через центр тяжести. Поскольку линия действия проходит под углом β к горизонту и отклоняется на угол d от вертикальной линии, эту силу необходимо разложить на две ее составляющие – вертикальную и горизонтальную:

 

dF_в = dF cos d = (Р₀ + ρgh) cos d dW

dF_г = dF sin d = (Р₀ + ρgh) sin d dW

 

Произведения d cos dW и d sin dW равны площади проекций элементарной площадки dW на горизонтальную хоу и вертикальную уоz плоскости.

dW cos d = dW _хоу или dW_г

dW sin d = dW _уоz или dW_в

 

Рассмотрим каждую из составляющих силы отдельно:

 

1. Горизонтальная составляющая

dF_г = (Р₀ + ρgh) dW_в

Площадка АВ состоит из элементарных площадок, тогда горизонтальная составляющая может быть определена суммирование элементарных сил:

 

F_г = ∫_wв (Р₀ + ρgh) dW_в = Р₀ ∫_wв dW_в + ρg∫_wв hdW_в

∫_wв dW_в = W_в и ∫_wв ρgh dW_в = S_oy = h_c W_в – статический момент площади проекции поверхностей АВ на вертикальную плоскость.

 

F_г = (Р₀ + ρgh_с) W_в, где h_с – погружение центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности; W_в – вертикальная проекция криволинейной поверхности.

 

2. Вертикальная составляющая

Вертикальную составляющую силы F_в можно также получить суммированием элементарных сил dF_в:

 

F_в = F_г = ∫_wг (Р₀ + ρgh) dW_г = Р₀ ∫_wг dW_вг+ ρg∫_wг hdW_г

∫_wг dW_г = W_г ; hdW_г = V_aвcd, тогда ∫_wг V_aвcd = V_ACDB

F_в = P₀W_г + ρg V_ACDB

 

Вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления равна сумме внешнего давления на горизонтальную протекцию криволинейной поверхности АВ и веса жидкости в объеме АСDВ, ограниченного снизу криволинейной поверхностью АВ, по бокам образующим восстановленными из концов этой поверхности АС и DВ, а сверху свободной поверхностью. Этот объем называют телом давления.

Результирующую силы гидростатического давления F можем определить:

F = √F_г² + F_в²

Эта равнодействующая силы F проходит через точку пересечения направляющей действия вертикальной и горизонтальной составляющей под углом β:

tg β = F_в/ F_г

 

Если на поверхности жидкости давление равно атмосферному Р_а, а избыточное давление Р_изб = 0, поэтому для криволинейных поверхностей рассматривают воздействие сил весового давления

 

F_г = ρgh_с W_в

F_в = ρgV т.д.

Объем тела давления может быть реальным, если этот объем расположен со стороны жидкости смачивающей криволинейную поверхность и фиктивным, если он расположен со стороны, не смоченной жидкостью. Реальный со знаком +, фиктивный со знаком -.

Направление равнодействующей силы и ее составляющих может быть найдено графически.

 

Построим эпюру гидростатического давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности и найдем ее центр тяжести. Линия действия, проходящая через этот центр, перемещаясь в горизонтальном направлении, пересечет криволинейную поверхность в т. 1

Построим эпюру давления для вертикальной составляющей и также найдем ее центр тяжести, через который пройдет линия действия вертикальной составляющей и пройдет через т.2 криволинейной поверхности. Эти две линии действия пересекутся в т. О и центр кривизны под углом β к горизонту. Точка приложения этой линии к криволинейной поверхности т. 3 будет определятся координатами:

 

Z_D = R sin β

X_D = R cos β

 

 

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: