События и действия над ними

ДО 3 БАЛЛОВ ЗА КНСПЕКТ

ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Всякая современная математическая теория строится по одному образцу: вначале задаются некоторое множество и система аксиом, определяются связи между элементами и подмножествами этого множества. Теория вероятностей не является исключением, она строится как абстрактная математическая дисциплина. Вместе с тем у теории вероятностей есть много приложений, обращенных во внешний мир, например, теория массового обслуживания, теория надежности, прикладная статистика. Оказывается, что с ее помощью можно успешно описывать, изучать, прогнозировать многие реальные случайные явления.

Однако любой, даже вводный курс теории вероятностей, если он претендует на корректность изложения, должен содержать ее аксиоматическое представление. Наша ближайшая цель – описание того исходного множества, которое кладетсяв основу любой математической структуры.Втеории вероятностей это множество называется пространством элементарных исходов.

Эксперимент, элементарный исход эксперимента,

Пространство элементарных исходов

Под экспериментом понимается некое действие, которое может быть многократно повтореноводних и тех же условиях. Например, бросание монеты или кубика. Конечно,вреальном мире нельзя дважды бросить кубикводних и тех же условиях. Хотя бы потому, что за время бросания Земля поворачивается вокруг своей оси, вокруг Солнца, вместе с Солнцем вокруг центра Галактики, - условия разные! Но такие соображения игнорируются, постулируется возможность сохранения одних и тех же условий.

В зависимости от нужд эксперимента экспериментатор выделяет возможные исходы эксперимента. Они называются элементарными исходами, если взаимно исключают друг друга ивсовокупности охватывают все возможные случаи. Например,вслучае бросания кубика можно выделить два элементарных исхода – четно или нечетно выпавшее число очков,аможно шесть – какое именно число (от 1 до 6) выпало на верхней грани;авот такие исходы: выпало четное число очков; выпало число очков, делящееся на три; выпало число очков, не делящееся ни на два, ни на три, не являются элементарными: шесть делится и на два, и на три, поэтому первые два исхода не исключают друг друга.

Элементарные исходы бывают равновозможными (по-другому говорят: у всех у них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными -впротивном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика одинаковые шансы выпастьвсравнении с другими.

А вот пример неравновозможных исходов: у наудачу выбранного человека спрашивают,ввисокосном или не високосном году он родился. Ясно, что два элементарных исхода этого эксперимента неравновозможны. Исход «год рождения високосный» имеет примерновтри раза меньше шансов, чем исход «год рождения невисокосный».

Пространством элементарных исходов (обозначается буквой W) называется произвольное множество, элементам которого поставлены во взаимно однозначное соответствие элементарные исходы данного эксперимента. Приведем три примера пространств элементарных исходов.

Пример 1. Бросается кубик, элементарный исход – число выпавших очков. Множество W состоит из шести элементов; обозначим их натуральными числами от единицы до шести, W = {1, 2,3,4,5,6}.

Пример 2. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет одно очко. Здесь элементарный исход – число бросаний кубика до первой единицы. Элементарных исходов бесконечно много, W – это множество натуральных чисел, W = {1, 2,...}. Элементарные исходы неравновозможны.

Пример 3. Два человека договорились встретитьсявопределенный деньвопределенном месте. Каждый из них может прийти к месту встречивлюбой момент времени между 12 и 13 часами. Здесь элементарный исход удобно описать парой чисел (х, у), где х – время прихода к месту встречи первого человека, у – второго. Элементарных исходов бесконечно много, но перечислить их через запятую, каквпримере 2, уже нельзя. W = {(х, у), 12 £ х, у £ 13} – так можно описать множество W.

Собственно теория вероятностей начинается тогда, когда построено пространство элементарных исходов. Множество W – это дверьвиной мир – мир математики,внем нет рождений, встреч и не бросают монеты. Его населяют числа, множества, функции. Начинающему, наверное, труднее всего дается переход к абстрактным структурам.

События и действия над ними

Событием называется любое подмножество множества W. События обозначаются заглавными латинскими: буквами А, В, С …

Элементарный исход – это пример события. Элементарный исход, входящийвсобытие (множество) А, называется благоприятствующим событию A; соответственно определяются неблагоприятствующие событию A элементарные исходы, это все исходы, не принадлежащие множеству A.

Говорят, что событие A произошло, есливрезультате эксперимента произошел элементарный исход, благоприятствующий событию А.

Пустое множество Æ называется невозможным событием; оно не содержит ни одного элементарного исхода и, значит, не может произойти.

Пространство элементарных исходов W называется достоверным событием. Оно содержит все элементарные исходы и, следовательно, всегда происходит.

Любое другое событие A называется случайным, так как заранее нельзя сказать, произойдет оно или нет.

Событием, противоположным событию A (обозначается Ā), называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые не входятв А. Если произошло событие А, то не произошло Ā, и наоборот. Ясно, что .

Суммой двух событий A и B (обозначается A + В) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входят по крайней мереводно из событий: A или В.

Сумма событий – это объединение множеств. Событие A + B происходит тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из событий (либо А, либо В), либо оба сразу. Понятие суммы событий легко распространяется на любое число слагаемых.

В устной и письменной речи для обозначения суммы событий употребляют союзы «или», «либо».

Замечание. В теории множеств объединение множеств обозначается знаком " ". В теории вероятностей сумму событий принято обозначать знаком "+".

Произведением событий A и B (обозначается AB или, или ) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входятвоба события A и В.

Произведение событий – это пересечение множеств. Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходят сразу оба события A и В. Операция произведения легко распространяется на любое число сомножителей. При словесном описании произведения событий употребляют союз «и».

Сумму и произведение n событий (бесконечного числа событий) будем обозначать так: .

События A и B называются несовместными, если их произведение – невозможное событие, AB = Æ. Вместе эти события не могут произойти.Bпротивном случае A и B называются совместными.

Говорят, что событие A влечет событие В, (обозначается A Í B), если все элементарные исходы, благоприятствующие А, благоприятствуют и B (множество A есть подмножество множества В). Ясно, что если A Í B, то AB = А, A + B = В.

Разностью событий A и B (обозначается А \ В) называется событие, содержащее те и только те элементарные исходы, которые входятвсобытие А, но не входятвсобытие В. Разность событий – это разность множеств. Событие А \ В происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Легко видеть, что . Сами элементарные исходы будем обозначать буквой ω.

Диаграммы Венна

Все данные определения иллюстрируются следующим образом: множество Ω изображается прямоугольником,асобытие – частями этого прямоугольника (рис. 2.1); это так называемая диаграмма Венна.

		A
		А+В

 

 

Рис. 2.1

Нетрудно убедиться (например, глядя на диаграмму Венна)всправедливости следующих тождеств:

A + A = A, AA = A, A + Ø = A, A Ø = Ø, A W = A,
A + W = W, A + Ā = W, AĀ = Ø, , = W, A \ B = ,

где A – произвольное событие.

Примеры решения задач

Задача 9. Из трех мужчин (A, Б, В) и двух женщин (Г, Д) избирается комиссия из двух человек. Описать два различных пространства элементарных исходов этого эксперимента.

Решение.

а) Будем понимать под элементарным исходом список людей, которые вошливкомиссию. Тогда число элементарных исходов равно числу способов выбрать двух человек из пяти данных: т.е. . Выпишем явно множество W.

W = {(A, В), (A, Б), (A, Г), (A, Д), (Б, В), (Б, Г), (Б, Д), (B, Г), (B, Д), (Г, Д)}

Здесь записи (A, Б) или (Б, А) означают одно и то же.

б) Будем понимать под элементарным исходом число мужчин и число женщин, вошедших вкомиссию. Тогда возможны всего три случая: W =

= {(2М), (2Ж), (1М, 1Ж)}, где запись (1М, 1Ж), например, означает, чтовкомиссию вошли один мужчина и одна женщина.

Задача 10. Наугад выбирается одна буква из числа образующих слово «формула». Какие из следующих множеств являются пространством элементарных исходов для рассматриваемого эксперимента:

1) {ф, о, р, м, у, л, а}; 2) {р, м, у, л, а}; 3) (гласная, ф, р, м, л);
4) {согласная, у, е}; 5) (гласная, согласная)?

Решение. Если понимать под элементарным исходом выбранную букву, то первое множество можно считать пространством элементарных исходов,авторое нельзя, так как буквы «ф» и «о», которые могут быть выбраны,в данное множество не входят.

Пятое множество также можно считать пространством элементарных исходов, если понимать под элементарным исходом выбор гласной или согласной буквы.

Третье множество занимает промежуточное положение между первым и пятым. Под исходом эксперимента понимается информация о том, гласная или согласная буква выбрана, причем, если выбрана согласная буква, указывается, какая именно.

Четвертое множество не является пространством элементарных исходов для данного эксперимента.Внем не описаны возможности выбора букв «о» и «а», зато указана букса «е», которой нетв слове формула.

Задача 11. Поезда метро следуют с интерваломвдве минуты. Пассажир приходит на станциювслучайный момент времени.

Элементарный исход – время ожидания пассажиром поезда. Описать пространство элементарных исходов.

Решение. Элементарный исход – число из отрезка [0, 2], пространство элементарных исходов – множество точек отрезка [0, 2], W = { w | 0 £ w £

£ 2}.

Задача 13. А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящихвтом, что из А, В, С:

1) произошло только А;

2) произошли A и В, событие С не произошло;

3) все три события произошли;

4) произошло по крайней мере одно из событий;

5) произошло одно и только одно событие;

6) ни одно из событий не произошло;

7) произошло не более двух событий;

8) произошло не менее двух событий.

Решение.

1. Произошел элементарный исход , благоприятствующий событию A и не благоприятствующий событиям B и С. Следовательно, , произошло событие

2. Произошел элементарный исход, благоприятствующий событиям A и B и не благоприятствующий событию С. Следовательно, произошло событие .

3. Произошло событие ABC.

4. Произошел элементарный исход, благоприятствующий, по крайней мере, одному из событий: А, B или С, т.е. произошло событие (A + B + С).

5. Произошел элементарный исход, благоприятствующий ровно одному из трех событий, т.е. произошло событие + + .

6. Произошло событие .

7. Противоположное событие заключаетсявтом, что произошли все три события; значит, можно записать, что произошло событие . По-другому можно сказать так: хотя бы одно из событий не произошло.

8. Произошел элементарный исход, благоприятствующий по крайней мере двум из трех событий; значит, можно записать, что произошло событие (AВ + ВС + AC).

Задача 14. Событие A = {хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}, событие B = {бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают события А \ В, , ? Можно ли сказать, что B Ì А?

Решение. Построим пространство элементарных исходов. Из условия задачи следует, что элементарным исходомвданном случае является количество бракованных изделий среди четырех данных. Тогда возможны 5 исходов. Обозначим их числами от 0 до 4; W = {0, 1, 2, 3, 4}; A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4}; А \ В = {1}; = {0}; = {0, 1}; А \ В = {среди четырех изделий ровно одно бракованное}; = {все изделия годные}; = {среди четырех изделий менее двух бракованных}. Событие B Ì A.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: