 |
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
|
|
Глава II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Понятие предела функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением быть может самой точки x0.
Определение 1.Число А называется пределом функции f(x) в точке x=x0, если для любого e>0 существует число d>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 
, x¹x0, имеет место неравенство 
<e. При этом пишут
.
Согласно данному определению справедливы следующие утверждения:
1. Предел постоянной величины С в точке x=x0равен значению этой постоянной, т.е.
.
2. Функция f(x)=х в точке x=x0имеет предел, равный x0, т.е.
.
Свойства пределов
Теорема 1.Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x®x0, то существуют пределы суммы (разности), произведения и, при условии 
, частного этих функций, т.е.
1) 
;
2) 
;
3) 
= 
, 
.
Замечание.Теорема верна также и в случае, когда x0 = ¥, +¥, -¥.
Следствия
10. Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела
= С × 
, С = const.
20. Если nÎN, то
= 
, 
= 
.
30. Предел степени равен степени предела
= 
, nÎN.
40. Предел многочлена P(x) при x®x0равен значению этого многочлена при x=x0
= P(x0).
50. Предел дробно-рациональной функции при x®x0равен значению этой функции при x=x0, если Q(x0)¹0
= 
.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. На основании п.п. 1, 2 Теоремы 1 имеем:
= 
=
= 2 × 1 × 1 + 1 - 3 = 0.
При решении данного примера можно непосредственно воспользоваться следствием Теоремы 1 о пределе многочлена.
= 2 × 12+ 1 - 3 = 0.
Пример 2. Вычислить 
.
Решение. Так как 
= 4 - 3 = 1 ¹ 0, то применимо следствие 50Теоремы 1 о пределе дробно-рациональной функции
= 8.
Односторонние пределы
Определение 2. Число А называется левым пределом функции f(x) в точке х=х0, если для любого e>0 существует число d>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условиям 
<d, x < x0, имеет место неравенство 
<e. При этом пишут
(x® x0-0 означает стремление х к х0 слева).
Определение 3. Число В называется правым пределом функции f(x) в точке x=x0, если для любого e>0 существует число d>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условиям 
< d, x > x0, имеет место неравенство 
< e. При этом пишут
(x®x0+0 означает стремление x к x0 справа).
Замечание. Для существования предела функции f(x) в точке x=x0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
, т.е. А = B.
Непрерывность функции. Точки разрыва
Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0, существует предел функции при x®x0 и он равен значению функции в этой точке
.
Так как 
, то условие непрерывности функции в точке x0 может быть записано в виде 
.
Следствиями этой формулы являются выражения:
,
= 
.
Пример 3. Вычислить 
.
Решение. Так как функции ln(x-1) и 
непрерывные в точке x=2, то в соответствии с Теоремой 1 и определением непрерывной функции имеем
= 
+ 
=
= ln(2 - 1) + 
= 0 + 1 = 1.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=x0. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и, при условии g(x) ¹ 0, f(x) / g(x) также непрерывны в этой точке.
Пример 4. Вычислить 
.
Решение. При x = p знаменатель дроби отличен от нуля. Кроме того, функции 1, sin x и ln 
непрерывны в этой точке. Тогда в соответствии с Теоремой 2 функция 
также непрерывна в точке x = p, т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны.
Переходя к пределу, получим:
= 
= 
= 1.
Определение 5. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Различают два вида точек разрыва.
Определение 6. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в ней функция имеет конечные односторонние пределы.
Определение 7. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке равен -¥ или +¥.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно малой при x®х0, если 
.
Пусть a(х) и b(х) – две бесконечно малые функции при x®x0. Тогда:
1) если 
= 0, то a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(x);
2) если 
¹ 0 (А - число), то a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка;
3) если 
, то a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми (a(x)~b(x) при x®x0).
Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой при х®x0, если для любого М>0 найдется такое d>0, что для любых х (x ¹ x0), удовлетворяющих условию 
, следует 
. При этом пишут 
.
Выражения 
+¥ и 
-¥ означают соответственно, что f(x) > M и f(x) < -M при 
, x ¹ x0.