Криволинейные интегралы второго рода
Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: 1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными; 2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw; 3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана. Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах - Тройные интегралы в цилиндрических координатах - Тройные интегралы в сферических координатах Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат. Пример 1 Найти объем области U, заданной неравенствами
Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.
Сделаем следующую замену: Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами Объем тела равен Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования: Тогда Следовательно, объем тела равен 68 Криволинейные интегралы первого рода Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1 Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами: 1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;
2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
6. В полярных координатах интеграл выражается формулой
где кривая C задана в полярных координатах функцией . Пример 1 Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3). Решение.
Рис.3 Рис.4
Криволинейные интегралы второго рода Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1 Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C.
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами: 1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то 3. Если кривая C задана параметрически в виде , то
4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде
Пример 1 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде . Решение. Используя формулу находим ответ: 71.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|