 |
Криволинейные интегралы второго рода
|
|
|
|
Замена переменных в тройных интегралах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U: 
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: 
Предполагается, что выполнены следующие условия:
1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В приведенном выражении 
означает абсолютное значение якобиана.
Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах
- Тройные интегралы в цилиндрических координатах
- Тройные интегралы в сферических координатах
Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.
Пример 1
Найти объем области U, заданной неравенствами 
Решение.
Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.
|
|
|
Сделаем следующую замену: 
Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами
Объем тела равен 
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:
Тогда
Следовательно, объем тела равен 
68 Криволинейные интегралы первого рода
Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией 
, где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).
Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл 
называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как 
Криволинейный интеграл 
существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1 Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;
2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение 
3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением 
и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением 
, то
5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением 
, то
6. В полярных координатах интеграл 
выражается формулой
где кривая C задана в полярных координатах функцией 
.
Пример 1
Найти интеграл 
вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).
Решение.
Рис.3 Рис.4
Криволинейные интегралы второго рода
Определение
Предположим, что кривая C задана векторной функцией 
, где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
|
|
|
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1 Рис.2
Введем векторную функцию 
, определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции 
существовал криволинейный интеграл 
. Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как 
Таким образом, по определению,
где 
− единичный вектор касательной к кривой C.
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: 
где 
.
Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем 
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
3. Если кривая C задана параметрически в виде 
, то
4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением 
(предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде
Пример 1
Вычислить интеграл 
, где кривая C задана параметрически в виде 
.
Решение. Используя формулу 
находим ответ: 
71.
|
|
|
