 |
Задача о выпуске продукции
|
|
|
|
Задача о диете
Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного программирования.
Постановка задачи - первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.
Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.
Построение модели - рассмотрение этого этапа и является главной целью.
Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q.
Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб.
Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?
Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.
Обозначим через х количество продукта Р и через у количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.
Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15 х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:
В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150 х + 200 у и по условию диеты должно быть не меньше 300:
Теперь о стоимости z продуктов. Она равна
и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной.
Последнее записывается так:
Тем самым мы получили систему формул:
|
|
|
которую решим графическим способом.
Нас интересует только та ее часть, которая лежит над треугольником BDE. Вычисляя значения z во всех трех вершинах этого треугольника
и сравнивая полученные результаты, замечаем, что наименьшее значение (35) достигается в вершине Е. Таким образом,
и искомая пропорция - 2: 3.
Задача о выпуске продукции
Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит - обычные и улучшенные. При этом производится две основные операции - прессование и отделка. Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на ресурсы (материал, время, затраты):
| Затраты | Партия из 100 плит | Имеющиеся ресурсы на месяц | |
| обычных | улучшенных | ||
| Материал (фунты) Время на прессование (часы) Время на отделку (часы) Средства (деньги) | 20 4 4 30 | 40 6 4 50 | 4000 900 600 6000 |
| Прибыль | max |
Перейдем к построению математической модели поставленной задачи. Введем следующие обозначения. Пусть
х - количество партий в 100 плит обычного вида, изготавливаемых в течение месяца;
у - количество партий в 100 плит улучшенного качества, изготавливаемых в течение месяца.
Тогда ожидаемую прибыль можно записать так:
Требуется найти такие значения х и у, подчиненные условиям
для которых
Для того, чтобы найти в первой четверти плоскости хОу множество точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют указанным выше неравенствам, необходимо сначала построить прямые (по точкам их пересечения с координатными осями)
а затем, используя точку начала отсчета О (0, 0), определить соответствующие полуплоскости. Пересечением полученных полуплоскостей будет четырехугольник ОВМЕ.
Наша целевая функция достигает наибольшего значения в одной из вершин четырехугольника.
Нам необходимо найти координаты точки М - точки пересечения прямых EF и АВ, для этого надо решить систему уравнений
|
|
|
Вычислить значения z в точках В (0, 100), Е (150, 0), М (100, 50):
Из полученных значений выберем наибольшее и получим ответ:
|
|
|
