Расчет вероятности для схемы случаев.

Элементы теории вероятностей

Представьте себе, что производится некоторый опыт или испытание, исход которого не может быть заранее предсказан. (Примеры: бросание монеты, вытаскивание наугад карты, сколько времени нужно жать нужного автобуса..). Все эти примеры относятся к области случайных явлений.

Определение. Явления, исход которых не может быть однозначно определен до того, как они произошли, называются случайными.

Пусть производится некоторый опыт, результат которого заранее неизвестен.

Определение. Случайное событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры.

1. Опыт - бросание монеты. Событие А – «выпадение герба».

2. Опыт – бросание 2-х монет. Событие В – «выпадение 2-х гербов».

3. Опыт – вынимание наугад 1 карты из колоды. Событие C – «попадание шестерки пик».

Теория вероятностей позволяет измерить количественно степень вероятности различных событий. Однако предсказывать можно только те случайные события, которые обладают высокой степенью правдоподобия.

Вопрос: Какое из событий в опыте подбрасывания игральной кости более вероятно: А – «выпадение шести очков» или B – «выпадение четного числа очков»?

Для оценки вероятности случайных событий необходимо выбрать единицу измерения. За такую единицу в теории вероятностей принято считать вероятность достоверного события. Достоверное событие – такое событие, которое в данном опыте непременно произойдет. Вероятность достоверного события будем считать единицей, а нулевую вероятность припишем невозможному событию, то есть такому, которое в данном опыте вовсе не может произойти (например выпадение числа очков больше шести).

Условимся обозначать вероятность случайного события P(А). Очевидно, что

Классический способ вычисления вероятностей в схеме случаев

Пусть производится опыт, который имеет ряд возможных исходов: А₁, А₂, …, A_n

События А₁, А₂, …, A_n называются несовместными, если они взаимно исключают друг друга, т.е. никакие два из них не могут появиться вместе.

События А₁, А₂, …, A_n образуют полную группу, если они исчерпывают собой все возможные исходы, то есть не может быть так, чтобы в результате опыта ни одно из них не произошло.

События А₁, А₂, …, A_n называются равновозможными, если условия опыта обеспечивают одинаковую возможность (вероятность) появления каждого из них.

Если события А₁, А₂, …, A_n обладают всеми тремя свойствами, то есть а) несовместны б) образуют полную группу и в) равновозможные, то они называются случаями, а про опыт говорят, что он сводится к схеме случаев.

Примеры.

1. Опыт «бросание монеты». Сводится к схеме случаев. Почему?

2. Опыт «бросание «бросание игральной кости». Сводится к схеме случаев. Почему?

3. Опыт «бросание двух монет» Сводится к схеме случаев. Почему? Перечислите все случаи.

4.

Расчет вероятности для схемы случаев.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность любого события А в этом опыте может быть подсчитана как отношений числа случаев, благоприятных событию А, к общему числу случаев.

, где n – общее число случаев, m_A – число случаев, благоприятных событию А.

Пример 0. Опыт состоит в бросании двух монет (трех монет, k монет). Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Пример 2. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Число сочетаний из к элементов по s:

Пример 3. В партии из N изделий М бракованных. Из партии выбирается наугад k изделий. Определить вероятность того, что среди этих k изделий будет ровно m бракованных.

Решение. Общее число случаев m = . Найдем m_D — число случаев, благоприятных событию D = {ровно m дефектных изделий в контрольной партии}.

Найдем число способов, какими из М дефектных изделий можно выбрать m для контрольной партии; оно равно Но ото еще не все: к каждой комбинации дефектных изделий нужно присоединить комбинацию из k — m доброкачественных; это можно сделать способами. Каждая комбинация из m дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией из k — m доброкачественных; число тех и других комбинаций надо перемножить.

Поэтому число благоприятных событию D случаев равно
;

Вероятность и частота

Частотой события в серии из N опытов называется отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к общему числу произведённых опытов. Частоту события ещё называют статистической вероятностью

Пусть производится некоторый опыт (эксперимент, испытание) со случайным исходом. Рассмотрим множество Q всех возможных исходов опыта; каждый его элемент qÎQ будем называть элементарным событием, а все множество Q — пространством элементарных событий.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: