Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Вычисление площадей плоских фигур

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке . Разделим отрезок [ a,b ] на n произвольных частей точками a=x₀ <x₁ <x₂ ……<x_n_-1<x_n =b, выберем на каждом элементарном отрезке [ x_k_-1,x_k ] произвольную точку x_k и найдём длину каждого такого отрезка: D x_k=x_k-x_k_-1. Тогда интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a,b ] называется сумма вида

Эта сумма имеет конечный предел J, если для любого, сколь угодно малого положительного числа e>0 найдётся такое число d>0, что как только длина наибольшего из элементарных отрезков станет меньше чем d (то есть выполнится неравенство max D x_k <d) неравенство |s-J|<e будет выполняться при любом выборе точек x_kвнутри элементарных отрезков[ x_k_-1,x_k ].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a,b ] (или в пределах от a до b) называется число J, являющееся пределом интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max D x_k) стремится к нулю:

_{b n} J=ò f(x) dx= lim s = lim Sf(x_k) Dx_k ^a ^max^D^Xk^®^{0 max}^D^Xk^®^{0 k=1}

Теорема. Если функция f(x) непрерывна (кусочно-непрерывна) на [ a,b ], то предел интегральной суммы при max D x_k ®0существует и не зависит ни от способа разбиения [ a,b ] на элементарные отрезки, ни от выбора точек x_k.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла:

_{b а}

1. ò f(x) dx = -ò f(x) dx

^{a b}

2. ò f(x) dx=0

_{b c b}

3. ò f(x) dx= ò f(x) dx + ò f(x) dx

^{a a c}

_{b b b}

4. ò [f₁(x)±f₂(x)]dx= ò f₁(x) dx ± ò f₂(x) dx

^{a a a}

_{b b}

5. ò C f(x) dx=Cò f(x) dx

^a^a

6. Оценка определённого интеграла: если m£f(x)£M на [ a,b ], то

m(b-a)<ò f(x) dx<M(b-a).

Приемы вычисления определённого интеграла

1. Формула Ньютона-Лейбница:

òf(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) любая первообразная для f(x), т.е. F¢(x)=f(x).

2. Интегрирование по частям

_b_b_b

òUdV = UV½ - òVdU, где U=U(x) и U=U(x) - дифференцируемые на отрезке

^{a a a}

[a,b] функции.

3. Замена переменной:

_b_b

òf(x)dx = òf[j(t)]j¢(t)dt, где x=j(t) - функция, непрерывная вместе со своей

^a^a

производной на отрезке a£t£b, a=j(а), b=j(b), f[j(t)] - непрерывная на [a,b].

4. а) Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = -f(x), то òf(x) dx=0

^-^a

б) Если f(x) - четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то f(x)dx = 2 f(x) dx

Примеры:

_{________}

1. Вычислить .

Используем табличный неопределенный интеграл вида òUⁿdU для нахождения первообразной функции и применим формулу Ньютона-Лейбница.. В подынтегральном выражении степенная функция умножается на дифференциал от её основания.

Найдём дифференциал от основания данной степенной функции - d(x+1)=dx, тогда имеем:

2. Вычислить .

Для вычисления этого интеграла используем табличный вида ò .

Так как x⁸=(x⁴)² и d(x⁴) =4x³dx, то

3. Вычислить

В этом примере используем табличный интеграл вида òe^U dU. Найдём дифференциал от показателя степени d(1-2/x)=2/x² dx, тогда можно записать

4. Вычислить xe^-^x dx

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим U=x, dU=e^-^x dx,

Тогда dU=dx, U=-e^-^x.

_{1 1 1 1}

òxe^-x dx=-xe^-x ½+òe^-x dx= - e^-1- e^-x½=-2e^-1+1=(e-2)/e

^{0 0 0 0}

5. Вычислить

Интегрируем по частям. Положим U= ln tgx, dU= dx, тогда

dU= , U=òdU=ò dx=tgx

6. Вычислить .

Введём переменную 1+lnx=t, lnx=t-1, тогда dx/x =dt. Находим новые пределы интегрирования t_н=1+ln1=1, t_в=1+ln e³ =1+3ln e=1+3=4, следовательно,

_e³

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть представлена в виде суммы или разности площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси 0x или 0y.

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой имеет вид y=f(x), осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где a£x£b, f(x)³0, находится по формуле:

_b У

S=òf(x) dx y=f(x)

^О

a b Х

2. В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=a и х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле

_b y

S=ò½f(x)½ dx a b x

^a^О

3. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что c£y£d, x=j(x), то площадь плоской фигуры находится по формуле

_dy

S=òj(y) dy х=j(y)

^cd

c x

4. Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) и прямыми x=a и x=b, где a £ x £ b и f₁(x)£ f₂(x), то её площадь находится по формуле

_bУ y=f₂(x)

S=ò[f₂(x)-f₁(x)] dx

^a S

y=f₁(x)

a b Х

5. Если кривая, заданная уравнением y=f(x) на отрезке [a,b], пересекает ось Ох в точках х₁и х₂и располагается между этими точками под осью Ох, то вся площадь фигуры, заключённой между кривой, соответствующей этому уравнению, осью Ох и прямыми x=a и x=b,выразится так:

_x1_x2_b_b

S = òf(x)dx + ò½f(x)½dx + òf(x)dx = ò½f(x)½dx