Расчет выкройки цилиндрической детали

Расчетно-графическая работа по высшей математике

Описание изделия

На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).

 

Дополнительные сведения:

раствор конуса b = 30⁰

радиус цилиндра R = 5 см

расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

 

Выбор системы координат

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.

Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2

         + l = + 2 = 7.7 (см)

таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).

 

Аналитическое описание несущих поверхностей

Уравнение цилиндрической поверхности:

 (х +2)²+(y+2)² = R²   (I)

Параметризация цилиндрической поверхности:

                                                      (II)

Определение положения шва на цилиндрической детали:

потребуем, чтобы параметр uÎ . При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l - .

Уравнение первой конической поверхности:

 (x + 7.7)² tg²b = y ²+ z²                                               (III)

Параметризация первой конической поверхности:

                                             (IV)

Определение положения шва на первой конической детали:

потребуем, чтобы j Î [- p sin b; p sin b ]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.

Уравнение второй конической поверхности:

 (y+7.7)² tg²b=x²+z²                                   (V)

Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):

                                 (VI)

 (Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

 

4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение:

(-2+Rcos +7.7)²tg²b=(-2+Rsin )²+v², которое в дальнейшем преобразуется к виду:

v = v(u) = ± (VII)

Знак “ + ” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0, знак “ - ” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

 

Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u . Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

 

Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I), получаем уравнение:

 (-7.7+rcosb+2)² + (rsinbcos +2)² = R²

преобразуем:

 (rcosb-5.7)² + (rsinbcos +2)² = R²

r²cos²b-2*5.7*rcosb+32.49+r²sin²bcos² +4rsinbcos +4-R² = 0

r²(cos2b+sin²bcos² )+2r(-5.7cosb+2 sinbcos )+36.49-R² = 0

 

Отсюда

 r=r(j)=                      (IX)

a(j)=1- sin²bsin²  ;

b(j)=2(2sinbcos -5.7cosb);

c=36.49-R².

Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку “ - ” в формуле (IX), посторонняя.

 

Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго конуса (V), получаем уравнение:

(rsinbcos +7.7)²tg²b=(-7.7+rcosb)2+r²sin²bsin²    квадратное уравнение относительно переменной r.

После упрощения получим:

r²(sin²bcos² tg²b- cos²b-sin²bsin² )+r(2d(sinbcos  tg²b+cosb))+d² (tg²b-1)=0

 

r= ,                         (X)

где    а = sin²bcos² tg²b- cos²b- sin²bsin² ;

b = d(sinbcos  tg²b+cosb);

c = d²(tg²b-1).

 

Выкройка второго конуса

Она идентична выкройке первого конуса.

 

Расчет выкройки цилиндрической детали

Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.

 

Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£ ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u= , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: