| № п/п
| Задание
| Ответ
|
|
| Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
 .
|  .
|
|
| Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме.
Решение:
| 
|
|
| Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
 .
| 
|
|
| Найдите  и  для числа  .
Решение:
 ,  ,  .
| 
|
|
| Запишите число  в различных формах. Дайте геометрическую интерпретацию.
Решение:
Алгебраическая форма: ;
тригонометрическая форма:  ;  ,
откуда  ,
 ;
показательная форма:  .
|  ,  .
|
|
| Запишите комплексные числа
1)  ; 2)  ; 3) 
в тригонометрической и показательной форме:
Решение:
1)  ;
2)  ;
3)  .
|
|
|
| Найдите  , если  .
Решение:
 ( расположено в IV квадранте).
Тогда  .
  .
|  .
|
|
| Вычислите и изобразите на комплексной плоскости  .
Решение:
Запишем число  в показательной форме:  ;
 .
 .
 ,  ,  ,  .
 получен из корня  поворотом на  против часовой стрелки,  из  поворотом на  и т.д.
| 
|
|
| Найдите все значения  и постройте их на комплексной плоскости.
Решение:
Представим число  в тригонометрической форме.
 ,  .
 .
  .
 .
При   ,
 ,
 .
| 
|
|
| Найдите все значения корня  .
Решение:
 где  .  ,  ,  ,
 , и т.д.
| 
|
|
| Вычислите, найдите модуль, аргумент и постройте на комплексной
плоскости число  .
Решение:
1)
 ,
 .
Для правильного отыскания аргумента рекомендуется изобразить это число на комплексной плоскости.
 ;  ;
2)  (3 радиана  , так как 1 радиан  );
3)  ;
4)  ;
5) 
Вычислим модуль и аргумент полученного числа:  ,  .
  .
|
|
|
| Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: 
Решение: Запишем  в алгебраической форме  , тогда из условия:  .
Искомое множество – нижняя половина кольца с внутренним радиусом  и внешним  .
| 
|
|
| Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению 
Решение:
 ,
 .
Искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты  .
| 
|
|
| Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|   . (см. рисунок).
|
|
| Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|  .  (см. рисунок).
|
|
| Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|   . (см. рисунок).
|
|
| Дайте геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:  .
|  
|
| Многочлены в комплексной области
|
| № п/п
| Задание
| Ответ
|
|
| Проверьте, что  является корнем многочлена  и найдите другие корни многочлена.
Решение:
Так как  , то является корнем многочлена  и многочлен делится на  без остатка.  
Для отыскания других корней многочлена решим уравнение  :  Итак, многочлен  имеет один действительный корень  и два комплексно-сопряженных корня  , 
|
|
|
| Разложите на множители  .
Решение:
 ,  -действительный корень, у квадратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней:  ,  .
| 
|
|
| Решите уравнение  .
Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая  , получим: 
| 
|
|
| Решите уравнение  .
Решение:
Введём подстановку  . Получим квадратное уравнение  . По теореме Виета корни квадратного уравнения  , и исходное уравнение распадается на два более простых уравнения  и  , решения которых и дадут в совокупности все решения данного уравнения. Если , то  .
В тригонометрической форме  , поэтому  ,  или  , .
При  .
При  .
При  . Если , то  .
В тригонометрической форме  , поэтому  , .
При  .
При  .
При 
|
|
|
| Решите уравнение  .
По формуле корней квадратного уравнения
 .
Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим 
Возводим обе части в квадрат и находим  , откуда  ;  .
Эта система имеет решения:  поэтому
| 
|
| | | | | | | | |
. Результат представьте в алгебраической форме. 
. Результат представьте в алгебраической форме.
; 2) 
; 3) 
.
.
; изобразите схематично значения корня на комплексной плоскости.
.
, 
, 
, 
.
?
?
.
.
