 |
Определение объёма испытаний
|
|
|
|
Величина возможной ошибки зависит от объёма испытаний, конструктивных особенностей испытуемых элементов, материала, условий испытания и методики обработки их результатов. Повысить точность оценки характеристик при определённых условиях испытаний можно только путём увеличения объема испытаний и применения более рациональной методики статической обработки результатов, использующей максимум информации, полученной при экспериментах.
При определении минимального объёма выборки n следует исходить из целей предстоящих испытаний.
Если испытания проводят с целью оценки математического ожидания а, то объём выборки в предположении нормального распределения определяют по формуле
n = 
z 21-α/2 (2.31)
или
n = 
(2.32)
где γ – коэффициент вариации определяемой характеристики; Δ a – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего значения в долях среднего значения определяемой характеристики; z 21-α/2 – квантиль уровня Р = 1 – α/2 нормированной нормально распределённой случайно величины; Р 1 = 1 – α – статическая надёжность, представляющая собой вероятность непревышения фактической ошибкой при оценке среднего значения характеристики максимальных ошибок Δ a или δ a (по модулю); δ a – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего значения в долях среднего квадратического отклонения изучаемой характеристики.
Как правило, генеральный коэффициент вариации γ является неизвестной величиной, поэтому при определении объёма выборки его заменяют коэффициентом ν, полученным на основе априорной информации. При отсутствии аналога значением выборочного коэффициента вариации задаются и уточняют в процессе эксперимента. В этом случае объём испытаний должен быть скорректирован в соответствии с уточнённым значением коэффициента вариации методом подбора по формуле
|
|
|
n = 
t 2α,k (2.33)
где t α,k – значение квантили статистики t уровня Р = 1 – α/2 для числа степеней свободы k = n – 1 (см. таблица 2.8).
Формулы (2.31)–(2.33) получены из условия, что вероятность попадания оценки математического ожидания в интервал а (1 ± Δ а) или а ± δ а σ будет Р = 1 – α.
Величину максимальных ошибок Δ a или δ a следует выбирать в зависимости от требований к точности оценки среднего значения исследуемой характеристики. При низкой точности величину Δ a принимают равной коэффициенту вариации определяемой характеристики, в этом случае δ а = 1. При средней точности Δ a принимают равной (0,4 …0,5)γ и δ а = 0,4 … 0,5, при высокой точности – Δ a = (0,2 …0,3)γ и δ а = 0,2 … 0,3.
Пример 2.8. Определить необходимый объём испытаний образцов с целью оценки среднего значения, если α = 0,1 и Δ a = 0,02. Данные о коэффициенте вариации при аналогичных испытаниях отсутствуют.
Задаёмся коэффициентом вариации γ = 0,04. По таблице 2.7 для α = 0,1 находим z 0,95 = 1,645 и по формуле (2.31) определяем
n = 
1,6452 ≈ 11.
Пусть по испытаниям 11 образцов выборочный коэффициент вариации составил ν = 0,051. В этом случае производим корректировку необходимого объёма испытаний, для чего формулу (2.33) представляем в виде
Δ a = 
t α,k (2.34)
Так как выборочный коэффициент вариации оказался больше первоначально принятого γ, то при n = 11 фактическая ошибка будет больше Δ a = 0,02.
Задаёмся n = 15 и определяем по формуле (2.34) ожидаемую ошибку, по таблице 9 – t 0,1,14 = 1,761,
Δ a = 
1,761 = 0,0232,
что больше заданной ошибки Δ a = 0,02.
В качестве следующего приближения задаёмся n = 20. t 0,1,19 = 1,73.
Δ a = 
1,73 ≈ 0,02.
Итак, принимаем n = 20, т. е. дополнительно испытываем 9 образцов.
Пусть далее по результатам испытаний n = 11 + 9 = 20 образцов выборочный коэффициент вариации ν = 0,045. Определяем по формуле (2.34) ожидаемую с вероятностью Р = 0,9 максимальную относительную ошибку оценки среднего значения предела прочности
|
|
|
Δ a = 
1,761 = 0,0177.
Если после дополнительных девяти образцов выборочный коэффициент вариации оказался бы существенно выше 0,051, а величина максимальной ошибки, подсчитанная по формуле (2.34), была бы неприемлимо высокой, то следовало бы вновь скорректировать объём испытаний с учётом полученного значения после дополнительных испытаний коэффициента вариации и т.д.
Если цель планируемых испытаний – оценка среднего квадратического отклонения характеристики, то объём выборки определяют методом подбора по формуле
(1 + Δσ)2 = 
, (2.35)
где Δσ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего квадратического отклонения случайной величины при нормальном законе распределения; χ2α/2 и χ20,5 – квантили уровня Р = α/2 и Р = 0,5 статистики χ2 (таблица 2.9).
Значение ошибки Δσ следует выбирать в зависимости от требований к точности оценки среднего квадратического отклонения характеристики. При низкой точности принимают Δσ = 0,4 … 0,5, при средней точности Δσ = 0,25 … 0,35 и при высокой точности Δσ = 0,1 … 0,2.
При n ≥ 15 для определения объёма выборки вместо (2.35) можно воспоьзоваться приближённой формулой
n = 1,5 + 
, (2.36)
Пример 2.9. Определить минимально необходимый объём испытаний с целью оценки среднего квадратического отклонения, если α = 0,1 и Δσ = 0,3.
Подсчитываем левую часть уравнения (2.36)
(1 + Δσ)2 = (1 + 0,3)2 = 1,69
По таблице 2.10 для различных k = n – 1 вычисляем отношения χ20,05 и χ20,5, выбираем такое значение k = n – 1, при котором отношение указанных величин будет меньше или равняться значения левой части уравнения (2.35).
Для k = 10
= 
= 1,96
Для k = 15
= 
= 1,75
Для k = 16
= 
= 1,72
Для k = 17
= 
= 1,69
Окончательно принимаем n = k + 1 = 18
При использовании формулы (2.36) получаем
n = 1,5 + 
= 16,5 ≈ 17.
Если в результате испытаний планируется одновременная оценка и среднего значения, и среднего квадратического отклонения контролируемой характеристики с заданной точностью и надёжностью, то объём испытаний определяют как наибольшее из двух значений n, найденных по формулам (2.31) – (2.33) и (2.35) – (2.36).
|
|
|
Для этой цели могут быть также использованы таблицы 2.10 и 2.11.
Таблица 2.10 – Минимальное число образцов n для оценки среднего значения, рассчитанное по формуле (2.31)
| γ | Δα | |||||||||
| 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | ||||||
| α | ||||||||||
| 0,05 | 0,10 | 0,05 | 0,10 | 0,05 | 0,10 | 0,05 | 0,10 | 0,05 | 0,10 | |
| 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 |
Таблица 2.11 – Минимальное число образцов n для оценки среднего квадратического отклонения, рассчитанное по формуле (2.35)
| α | Δσ | ||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | |
| 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 |
Приложение А
|
|
|
