Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

При вычислении коэффициентов и свободных членов канони­ческих уравнений метода сил, кроме непосредственного интегриро­вания и применяют различные упрощенные приемы вычисле­ния интегралов. Особенно обстоятельно они разработаны для рам с прямолинейными стержнями постоянного сечения. Жесткость EI = const при этом выносится за знак интеграла, а под интегралом остается произведение двух функций: M_i и M_k, одна из которых, как правило, или обе являются линейными функциями. Операция интегрирования здесь часто называется перемножением эпюр и ее символически изображают следующим образом:

, (14.6)

здесь знак означает умножение в смысле формулы Мора.

Применение готовых формул показано в таблице 14.1. Сами эти формулы без труда определяются элементарными методами. Эта таблица является весьма универсальной, так как она пригодна для определения перемещений по двум любым прямолинейным эпю­рам, а также криволинейной с прямолинейной. Если любая из фи­гур, приведенных в табл. 14.1, перемножается с треугольником, то это перемножение сводится к трапеции, одна из ординат которых равна 0. При перемножении на прямоугольник нужно учесть, что М_a = М_b.

Довольно удобным способом перемножения эпюр является способ Верещагина. Этот способ применим в случае когда из двух перемножаемых эпюр одна как минимум является прямоли­нейной. Если одна из эпюр является криволинейной вычисляется площадь криволинейной эпюры, которая умножается на ордина­ту под ее центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре (рис.16).

Предположим M ₁ = f (x); M ₂ = a x + b, тогда

= ,

но величина представляет собой площадь криволи­нейной эпюры, а величина - статический момент площади этой эпюры относительно левого конца стержня. Следо­вательно,

.

Известно, что величина представляет собой ординату центра тяжести криволинейной эпюры, а - значение M2 при .

В случае двух криволинейных эпюр способ Верещагина непри­меним. Надо пользоваться интегралом Мора. Способ Верещагина применим также в тех случаях, когда одна из эпюр не криволиней­ная, а ломаная.

В таблице 14.2 приведены формулы для определения площади , положения центра тяжести z_C и ординаты y_C в центре тяжести для некоторых довольно распространенных плоских фигур.

В случае, когда имеются эпюры общего вида (например, обе эпюры криволинейные, либо трапеции, рис.16), разбиение уже на два равных интервала дает согласно формуле Симпсона точное выражение интеграла:

,

где индексы А и С относятся к сечениям расположенным на концевых сечениях интервала длиной l, а индекс В к серединному сечению того же интервала.

В тех случаях, когда функции M ₁ и M ₂ в рассматриваемом интервале длиной l, являются линейными и известны их значения в концевых сечениях интервала, то формулу перемножения M ₁ и M ₂ можно преобразовать в следующем виде:

. (14.7)

Итак, после составления и решения канонической системы уравнений метода сил (14.5) мы получаем значения X ₁, X ₂, X ₃,..., X_n, т.е. значения усилий в лишних связях. Затем строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий. Для этого могут быть использованы построенные ранее единичные эпюры, все ординаты которых необходимо теперь умно­жить на найденные значения соответствующих неизвестных.

Сложив по характерным сечениям (на протяжении всей рас­считываемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех сил X_i с ординатами грузовой эпюры, получим окончательную (суммар­ную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопре­делимой системе.