 |
Основные положения метода гармонической линеаризации
|
|
|
|
Аналитическое и экспериментальное исследование
автоколебательных процессов в нелинейной системе
Цель работы: аналитическое и экспериментальное исследование автоколебательных процессов в нелинейной системе. Изучение влияния параметров элементов САУ на качество регулирования.
Теоретические сведения
К нелинейным системам автоматического управления относятся системы, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейными называют элементы, имеющие нелинейные статические характеристики. Примером могут служить релейные элементы, выходной сигнал которых изменяется скачкообразно при равномерном изменении входного сигнала.
Аналитическое исследование нелинейных систем сложнее чем линейных, поскольку они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не имеют единых математических методов решения. В связи с этим положением, в теории автоматического управления применяются как точные, так и приближенные методы анализа и синтеза нелинейных систем. К точным относят метод фазового пространства для систем первого, второго, а иногда и третьего порядка. Из приближенных наиболее эффективным является метод гармонической линеаризации. Достаточно эффективны численные методы с применением ЭВМ.
Основные положения метода гармонической линеаризации
Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования нелинейных систем автоматического управления. Условием его применения является гармонический характер колебаний, возникающих в нелинейной системе, что позволяет решить задачу только в первом приближении. На практике линейная часть системы представляет собой низкочастотный фильтр, поэтому допускаемая при расчетах ошибка достаточно мала. Кроме того, следует отметить, что ошибка расчетов уменьшается по мере увеличения инерционности линейной части системы.
|
|
|
Параметры периодических колебаний (форма, амплитуда и частота), возникающих в системе, зависят от параметров нелинейного элемента и параметров линейной части системы. Эти периодические колебания называют автоколебаниями. На фазовом портрете автоколебания отображаются в виде замкнутых траекторий, называемых предельными циклами.
В лабораторной работе рассматривается нелинейная система содержащая нелинейный элемент (НЭ) и линейные звенья, которые характеризуются передаточной функцией Wo(p) (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Структурная схема нелинейной САУ.
При включении системы в работу в ней возникают периодические колебания. Поскольку линейная часть (ЛЧ) системы представляет собой низкочастотный фильтр, то независимо от характера периодических колебаний на ее входе Z(t) колебания на выходе ЛЧ Y(t) не будут содержать высших гармоник. Если учитывать только первую гармонику автоколебаний на выходе ЛЧ, то на вход НЭ поступает сигнал X(t) = -Y(t) = A×sin(w×t).
На выходе НЭ, имеющего статическую характеристику Z = F(X) возникают сложные периодические колебания, которые, в общем случае, содержат весь спектр гармоник Z(t) = F[A×sin(w×t)].
Учитывая фильтрующее действие ЛЧ системы и ограничиваясь первой гармоникой при разложении сигнала Z(t) в ряд Фурье, можно получить:
Z1(t) = A×[q(A) ×sin(w×t) + q1(A) ×cos(w×t)]
2p
где q(A) = {òF[A×sin(w×t)×sin(w×t)]d(w×t)} / [p×A]; (1)
2p
q1(A) = {òF[A×sin(w×t)×cos(w×t)]d(w×t)} / [p×A].
В комплексной форме гармонический сигнал на входе нелинейного элемента записывается в виде X(t) = A×ejwt.
Для первой гармоники колебаний на выходе НЭ, с использованием комплексной формы ряда Фурье, можно записать
|
|
|
Z1(t) = A×[q(A) + q1(A)] ×ejwt.
Отношение Z1(t) / X(t) = Wн(A) = q(A) + q1(A) (2)
называют гармоническим коэффициентом передачи или эквивалентной передаточной функцией НЭ.
Таким образом, согласно (2) можно записать уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе НЭ: Z1(t) = Wн(A) × X(t) предполагая, что X(t) и Z1(t) изменяются по гармоническому закону.
Из выражения (2) видно, что гармонический коэффициент передачи зависит только от амплитуды входного сигнала и не зависит от частоты.
Легко также доказать, что для НЭ, имеющих однозначную характеристику, q1(A) = 0.
Рис. 3.2. Структурная схема второй моделируемой САУ
В качестве примера можно рассмотреть вариант вычисления гармонического коэффициента передачи для НЭ, имеющего характеристику (рис.3.2в) электромагнитного реле, входящего в состав первой моделируемой САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.2а. Входной и выходной сигналы НЭ показан на рис.3.2б.
Из рис.3.2б видно, что A×sin(a) = C,
откуда sin(a) = C/A, а cos(a) = (1 - C 2/A2)1/2.
В соответствии с (1) окончательно можно записать:
q(A) = 4B×(1 - C2/A2)1/2 / [p×A]; q1(A) = - 4×B×C / [p×A2];
Wн(A) = 4B×(1 - C2/A2)1/2 / [p×A]- j×4B×C / [p×A2]. (3)
|
|
|
