 |
Методы и алгоритмы анализа на макроуровне
|
|
|
|
Выбор методов анализа во временной области. Анализ процессов в проектируемых объектах можно производить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем. Анализ в частотной области более специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми ММ при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой спектральными составляющими сигналов, и т.п.
Методы анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа в САПР, – это численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):
F (d V /dt, V, t) = 0.
Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в ММ независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в (3.15), или быть интегрированными в ММ компонентов, как это выполнено в узловом методе.
От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.
Применяют два типа методов интегрирования – явные (иначе экстраполяционные или методы, основанные на формулах интегрирования вперед), и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка – методов Эйлера.
|
|
|
Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке tn:
где индекс равен номеру шага интегрирования; h n= tn+ 1 – tn – размер шага интегрирования (обычно hn называют просто шагом интегрирования). В формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцирование назад:
где h n= tn – tn- 1.
Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:
d V /dt = AV (3.23)
при ненулевых начальных условиях V0 ≠ 0 и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h. Здесь А – постоянная матрица; V – вектор фазовых переменных.
При алгебраизации явным методом имеем
(V n+ 1 - V n) /h= AV n
или
V n +1 = (Е + h A) V n
где Е – единичная матрица. Вектор V n+1 можно выразить через вектор начальных условий V 0:
V n +1 = (Е + h A) n V 0 (3.24)
Обозначим
В = Е + h А (3.25)
и применим преобразование подобия для матрицы В
где Т – преобразующая матрица, 
-диагональная матрица с собственными значениями 
-матрицы В на диагонали. Нетрудно видеть, что
Из линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанных арифметическими операциями, оказываются связанными такими же преобразованиями. Поэтому из (3.25) следует
λB j = 1 + h λA j
Точное решение модельной задачи (3.23) V(t)→ 0 при t →∞, следовательно, условием устойчивости процесса численного решения можно считать
V n +1→ 0 при t →∞
откуда последовательно получаем
(Е + h A) n V 0→ 0,
так как V0 ≠ 0, то (Е + h A) n → 0, поскольку Т ≠ 0, 
→ 0 и условие устойчивости
(3.26)
Известно, что для физически устойчивых систем собственные значения матрицы коэффициентов в ММС оказываются отрицательными. Если к тому же все 
, вещественные величины (характер процессов в ММС с моделью (3.23) апериодический), то естественно определить постоянные времени физической системы как
|
|
|
τ j = -1 / λA j ,
и условие (3.26) конкретизируется следующим образом
или
0 < h <2τmin (3.27)
где 2τmin – минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы более высокого порядка, то может увеличиться коэффициент перед 2τmin в (3.27), но это принципиально не меняет оценки явных методов.
Если нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.
Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматического выбора шага. Отметим, что в сложной модели расчет τmin для непосредственного выбора шага по (3.27) слишком трудоемок, кроме того, однократный расчет τmin мало чем помогает, так как в нелинейных моделях τmin может изменяться от шага к шагу.
Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования. В результате вычислительная эффективность явных методов резко падает с ухудшением обусловленности ММС. В самом деле, длительность Т инт моделируемого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоения системы после возбуждающего воздействия, т.е. соизмерима с максимальной постоянной времени τmax.Требуемое число шагов интегрирования равно
Ш= Т инт / h ~ τmax / τmin.
Отношение Ч = τmax/τmin называют разбросом постоянных времени или числом обусловленности. Чем больше это число, тем хуже обусловленность. Попытки применения явных методов к любым ММС чаще всего приводят к недопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в реальных моделях Ч > 105 – обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универсальных программах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.
Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следующие результаты. Вместо (3.24) имеем
Vn=(Е - h A)- n V 0
и условие числовой устойчивости принимает вид
,
которое выполняется при любых h > 0. Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называемой А-устойчивостъю.
Примечание. Метод интегрирования СОДУ называют A -устойчивым, если погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге h >0.
|
|
|
Применение A -устойчивых методов позволяет существенно уменьшить требуемые числа шагов Ш. В этих методах шаг выбирается автоматически не из условий устойчивости, а только из соображений точности решения.
Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост: во-первых, более высокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов, кроме метода Эйлера, A -устойчивы также методы второго порядка и среди них – метод трапеций. Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка – модификации метода трапеций.
|
|
|
