Задачи, приводящие к проблеме собственных значений
Лекция 10 Проблема собственных значений
Часть III. Алгебраическая проблема собственных значений
Задачи, приводящие к проблеме собственных значений
Задача о собственных значениях возникает не только в задачах механики. В частности, к ней приводят математические модели явлений в таких научных дисциплинах, как геометрия, астрономия, физика. Второе название характеристического уравнения ‑ вековое уравнение ‑ связано с тем, что это уравнение встречается при исследовании вековых возмущений движения планет. В данном пособии рассматривается задача о собственных значениях:
только для случая, когда матрица
Составим уравнения движения этой системы. Чаще всего для этого самым удобным способом является использование уравнений Лагранжа второго рода:
где Потенциальная энергия системы складывается из потенциальных энергий трех пружин:
Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий двух грузов:
Здесь мы рассматриваем собственные колебания системы, следовательно, Согласно (10.2), (10.3) и (10.4) слагаемые первого уравнения Лагранжа для данной системы будут:
следовательно, первое уравнение имеет вид
Аналогично получаем второе уравнение
Выпишем оба уравнения в виде системы:
или в матричном виде
где
Решение уравнения (10.9), как положено (см, например, [10.1]), будем искать в виде
В результате подстановки (10.11) в (10.9) получим
Если обозначить Итак, на простом примере (рис. 10.1) мы увидели, каким образом в задачах механики может возникать задача о собственных значениях. Осталось разобраться, как можно эту задачу решать, и каков физический смысл полученного решения. Уравнение (10.12) несложно привести к следующему виду:
Полученная однородная система линейных уравнений (правые части равны нулю), согласно одной из основных теорем линейной алгебры (см, например, [10.2]), имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю:
Уравнение (10.14) называется характеристическим уравнением матрицы В рассмотренном выше примере (10) характеристическое уравнение
является квадратным уравнением:
и имеет два корня: Теперь, зная собственные значения матрицы, можно определить и соответствующие им собственные вектора. Для того чтобы определить первый собственный вектор, надо в уравнение (10.13) подставить вместо
Здесь следует сделать два замечания: 1. Найденный в (10.17) вектор 2. Вообще говоря, собственным вектором матрицы
Здесь, кстати, мы первый раз применили обычное обозначение для собственного вектора, которого будем придерживаться и в дальнейшем: чтобы отличать собственный вектор от произвольного вектора Теперь, совершенно аналогично, определяем второй собственный вектор, соответствующий собственному значению
Итак, решение задачи о собственных значениях получено. Осталось разобраться в его физическом смысле. Вспомним, что мы пришли к задаче о собственных значениях (10.12) после того как для поиска решения системы дифференциальных уравнений (10.9) использовали представление (10.11)
При этом для упрощения выкладок было введено обозначение
Определив таким образом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
После подробного разбора простого примера может возникнуть впечатление, что никаких сложностей в задаче о собственных значениях нет. Для ее решения, похоже, надо всего-навсего: 1) определить корни полинома
2) определить вектора, соответствующие полученным собственным значениям. Увы, все не так просто. Хотя такой подход в принципе осуществим, для решения задачи о собственных значениях он крайне неэффективен. Когда приходится иметь дело с полиномами степени 5 и выше, для нахождения его корней мы не можем воспользоваться явными формулами, как в случае квадратного уравнения. Еще в начале прошлого века Галуа[1] доказал, что для нахождения корней многочлена пятой степени не существует алгебраической формулы. Поэтому для нахождения корней такого полинома приходится прибегать к численным итерационным методам. Для полиномов общего вида такие методы разработаны и хорошо исследованы (методы Берстоу, Мюллера, Лина,Лобачевского-Греффе, Бернулли и др.[10.3, 10.4]). Однако попытка использовать их для задачи (10.1) в случае матрицы с размерностью в несколько сотен даже современные компьютеры заставило бы трудиться безостановочно в течение нескольких часов.
К счастью
Литература 10.1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Физматгиз, 1961. – 312с. 10.2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978. – 304с. 10.3. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. – 400с. 10.4. Хаусхолдер А.С. Основы численного анализа. – М.: ИЛ, 1956. – 320с. [1] Галуа Эварист (1811-1832) – французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. Научное наследие Галуа – небольшое число весьма кратко написанных работ, из-за новизны идей, не понятых при жизни Галуа. Погиб на дуэли.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|