Краткие сведения о решении систем нелинейных уравнений
Лекция 9 Нелинейные системы
Краткие сведения о решении систем нелинейных уравнений
Системы нелинейных уравнений могут возникать при интегрировании уравнений движения деформируемых систем, при решении задач оптимизации и во многих других случаях. Наиболее часто количество уравнений в таких системах количество уравнений равно количеству неизвестных. Во всяком случае, это справедливо для большинства задач вычислительной механики. Общий вид таких систем:
Как обычно запись системы (9.1) можно значительно упростить, введя векторные обозначения. Обозначим Система (9.1) принимает вид
внешне совпадающий с единственным уравнением с одним неизвестным, методы решения которого были рассмотрены в предыдущих параграфах. Однако обобщение этих методов на многомерный случай представляет существенные трудности.
На рисунке изображены две поверхности, определяемые уравнениями Попытка обобщить эти наглядные представления на системы с большим количеством уравнений, пожалуй, мало полезна. Хотя в некоторых книгах по численным методам (например, [9.1]) можно встретить формулировку типа: Решение представляет собой точку
Уже на двумерном случае понятно, что метод половинного деления здесь, к сожалению, не работает. Для одного уравнения этот метод, не отличаясь высокой скоростью, был с другой стороны крайне надежным. Но для одного уравнения в методе бисекций на каждом шаге требовалось вычислить значения функций на границах интервала, то есть всего в двух точках. Уже для двух уравнений аналогичный подход требует определения значений функций на границе двумерной области (пунктирный прямоугольник на рисунке), то есть в бесконечном числе точек.
В качестве начального приближения мы принимаем некоторую точку Теперь попробуем перевести эти довольно приблизительные рассуждения перевести на язык формул. Для случая Очередное приближение можно представить как
Если разложить функции
Производные здесь вычисляются, разумеется, в точке В матричной записи эта система выглядит таким образом:
где
а матрица
представляет собой хорошо известный по курсу матанализа якобиан. В случае если якобиан не вырожден
Если рассматривать якобиан как обобщение производной, то можно сказать, что формулы этого метода для системы уравнений и для одного уравнения совпадают. При программной реализации обычно не вычисляют матрицу обратную якобиану непосредственно, а сначала вычисляют поправку, решая систему
и затем определяют очередное приближение:
Объем вычислений для систем, естественно, значительно больше, чем для одного уравнения и, к сожалению, не всегда сходится к решению. В программном комплексе MATLAB для решения систем уравнений можно использовать функцию fsolve (содержится в Optimization Toolbox). Если вы поэкспериментируете с этой функцией, то обнаружите, что не так уж редко функция будет сообщать либо о том, что сходимости добиться не удалось, либо о том, что процесс сходится к некоторой точке, но эта точка не является нулем функций системы. Вообще проблема решения систем нелинейных уравнений вида еще далека от своего окончательного решения. Не случайно, поэтому, хорошие программы предусматривают возможность неудачи и сообщают о ее причинах. Что касается метода Ньютона-Рафсона, определяемого формулой (9.6), то он, обладает квадратичной сходимостью, превосходя по эффективности другие методы. Однако для его успешной работы необходимо выполнение следующих условий:
· Якобиан должен быть достаточно хорошо обусловленной матрицей. Иначе будет затруднительно вычислить поправку · Начальное приближение В формулировке обоих этих условий присутствует слово достаточно, не отличающееся здесь математической точностью. И действительно, чаще всего, определить ‑ достаточно ли хорошо выбрано начальное приближение можно только предприняв попытку решения. Поэтому, как правило, метод Ньютона-Рафсона используют в комбинации с другими методами и применяя различные меры предосторожности. Здесь приведем, предложенную в книге [9.3] стратегию решения ‑ относительно простую, но достаточно надежную. Она основана на ограничении величины поправки 1) Вводится ограничение на величину поправки 2) Если 3) Вычислить 4) Если 5) Иначе полагаем
Возможно также обобщение метода секущих на многомерный случай. На рис.9.3 приведена соответствующая иллюстрация для системы двух уравнений. В этом случае для первого приближения надо выбрать три начальных точки
Существует много разновидностей метода секущих, использующий различные способы выбора точек и различные стратегии решения. Ознакомиться с ними можно по книге Ортеги, Рейнболдта [9.1]. Здесь же отметим только, что метод секущих и в многомерном случае можно рассматривать как вариант метода Ньютона-Рафсона с заменой производных их приближенными выражениями через значения функций в отдельных точках (разностными соотношениями).
Вопрос о сходимости методов здесь рассмотрим на примере метода простой итерации. Так же как и в случае одной функции можно ввести понятия неподвижной точки и сжимающего отображения Рассмотрим некоторую Определение 1. Точка Определение 2. Оператор (функция)
где Для исследования сходимости итерационных методов принципиальное значение имеет следующая теорема:
Принцип сжимающих отображений. Пусть оператор
Тогда итерационный метод
Доказательства этой теоремы здесь не приводится. Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в книгах [9.1, 9.4]. Отметим, что, как и в случае одного уравнения, вместо условия (9.9) можно, с некоторыми оговорками, воспользоваться более строгим условием:
(норма якобиана функции
Сформулированный выше принцип сжимающих отображений применим для исследования сходимости только таких итерационных методов, которые являются разновидностями метода простой итерации. То есть метода, который исходную систему уравнений заменяет эквивалентной системой вида и определяет итерационную последовательность как
Метод Ньютона-Рафсона удовлетворяет этому описанию, если положить
Литература
9.1. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. – М.: Мир, 1975. – 558 с. 9.2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том I. – М.: Наука, 1967. – 480 с. 9.3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. – М.: Мир, 1998. – 575 с. 9.4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. ‑ М.: Наука, 1989. – 432 с.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|