Метод последовательной верхней релаксации
Лекция 6. Метод релаксации Большинство итерационных методов решения СЛАУ:
Основаны на идее расщепления матрицы системы. Если представить матрицу
систему (6.1) можно переписать в виде:
и, на основании (6.3) использовать для итераций следующую формулу:
Здесь сразу возникает два вопроса: 1. Не будет ли решение системы (6.4) слишком сложной задачей? 2. Будет ли последовательность Ответ на первый вопрос достаточно прост. Все зависит от того как расщепить матрицу Например, если матрицу
расщепить следующим образом:
то формула (6.4) определит уже известный нам метод Якоби. Если же выбрать
формула (6.4) будет определять метод Гаусса-Зейделя.
Для того, чтобы прояснить ответ на второй вопрос, вычтем из уравнения (6.3) уравнение (6.4):
Здесь
вектор ошибки, представляющий отклонение Очевидно, что последовательность
То, что методы Якоби и Гаусса-Зейделя могут сходиться медленно, объясняется тем, что максимальное собственное значение матрицы Если же окажется, что
Определение собственных значений само по себе является довольно сложной математической задачей. Тем более сложно придумать рецепт – как расщеплять матрицу Тем не менее, в 1950г. [5.2] был найден очень хороший способ расщепления матриц, который, во всяком случае, обеспечивает быструю сходимость для симметричных положительно определенных матриц. Идею метода можно наглядно пояснить следующим образом. Еще во времена, когда вычисления производились вручную, было замечено, что при применении метода Гаусса-Зейделя итерации сходятся монотонно. Можно сказать, что «приближения остаются с одной и той же стороны от решения x» [5.1]. Последнюю фразу несколько трудно понять применительно к вектору х произвольной размерности. Однако можно проиллюстрировать схемой для известных итерационных методов для уравнения Любой итерационный метод фактически состоит в том, что некоторое
Для разных методов способ этой поправки может быть свой. Но в любом случае очередное приближение может быть записано в виде (6.11).
По рис.6.1 можно сделать наблюдение, что если поправку принимать немного больше, чем это предлагает итерационный метод, то, возможно, сходимость итерационного процесса окажется быстрее. То есть, если вместо (6.11) использовать
где В упомянутой диссертации Янга эта идея распространена на системы линейных уравнений. Итерационная формула, аналогичная (6.4), при этом принимает вид [6.3]:
где
Остается вопрос, какое значение следует принять для
Обычно хорошим выбором является
Литература 6.1. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М.: Мир, 1980. – 454с. 6.2. Young D.M. – Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic Type. Doctoral thesis. – Harvard University, 1950. 6.3. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. – М.: Мир, 1999. – 548 с.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|