Использование сдвига для улучшения сходимости
Лекция 11 Степенной метод и метод Якоби
Степенной метод
Обоснование степенного метода
В случае симметричной матрицы Здесь и в дальнейшем будем нумеровать собственные значения в порядке возрастания
Возьмем произвольный вектор
Вычислим вектор
Здесь было использовано определение собственного вектора: Повторяя эту операцию
Согласно принятой нумерации (11.1), максимальным из собственных значений будет
Единственное замечание, которое осталось сделать перед тем, как перейти к практическому применению степенного метода: вектор
где
Пример. Найдем степенным методом максимальное собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы:
Примем в качестве начального вектора Как видим, результаты неуклонно приближаются к точному решению:
Точное решение этого примера получено на предыдущей лекции.
Замечание. Сходимость степенного метода может быть медленной, когда
После каждой итерации ортогональность векторов, естественно, нарушается. Поэтому перед очередным приближением полученные вектора ортогонализируют по методу Грама ‑ Шмидта. Помимо улучшения сходимости такой подход позволяет вычислить не одно, а несколько пар собственных значений и собственных векторов. Обратный степенной метод
Применяя степенной метод, мы получаем наибольшее собственное значение В таких случаях удобнее использовать обратный степенной метод. Метод называется так потому, что итерации, аналогичные (11.6), выполняются не с самой исследуемой матрицей
Здесь используется тот факт, что матрица
Тогда, умножая (11.9) слева на
Таким образом, в результате использования итераций (11.8), мы должны получить максимальное собственное значение
Следует заметить, что обратный степенной метод вовсе не требует, как может показаться на первый взгляд, трудоемкого обращения матрицы. Выражение (11.8) можно переписать таким образом:
Следовательно, для получения очередного приближения
треугольное разложение матрицы достаточно выполнить только один раз. Тогда на каждой очередной итерации требуется только решить две треугольные системы.
Пример. Попробуем применить обратный степенной метод крассмотренной в разд. 6.1 матрице
Напомним, что в предыдущей лекции было получено точное решение:
Нетрудно убедиться, что
тогда, приняв в качестве начального приближения
получим
Использование сдвига для улучшения сходимости
Так же, как и прямой степенной, обратный степенной метод может оказаться медленно сходящимся. Напомним (см формулу (11.2)), что вектор
Тогда после
Ясно, что вектор Вспомним, однако, свойство операции сдвига матриц: Операцией сдвига по отношению к матрице называется вычитание из всех ее диагональных элементов одного и того же числа. Так, выражение означает, что матрица Для приложений очень важно следующее свойство этой операции: в результате операции сдвига собственные значения матрицы изменяются на величину сдвига, а соответствующие собственные вектора остаются прежними. В самом деле, пусть
Если Согласно этому свойству, если нам будет известно достаточно хорошее приближение Остается вопрос, откуда взять хорошее приближение для
где, вообще говоря, Более подробно это отношение и его свойства будут рассмотрены в следующих лекциях. Здесь же отметим еще, что для произвольного вектора
причем равенство достигается в случае, если Пример. Вновь рассмотрим ту же матрицу с тем же начальным вектором
Кстати, поясним несколько странный выбор начального вектора в трех примерах этого параграфа. Обычно при применении степенных методов, не мудрствуя лукаво, в качестве начального вектора берут вектор с единичными элементами, т.е. следовало бы принять
1-я итерация: Как видим, уже первая итерация дала такую точность, какую методы без сдвига достигали лишь после третьей итерации. Для убедительности примера все-таки проведем еще одну итерацию. 2-я итерация:
Метод Якоби Вспомним, что если
Ортогональные матрицы Определение. Матрица называется ортогональной, если ее столбцы ортонормированны, то есть
Следствие. Для ортогональной матрицы ее обратная матрица равна ее транспонированной, т.е. Еще одно следствие. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. В самом деле, если
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|