Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Использование сдвига для улучшения сходимости

Лекция 11

Степенной метод и метод Якоби

Степенной метод

Обоснование степенного метода

В случае симметричной матрицы все ее собственные значения вещественны, и этим собственным значениям соответствуют линейно независимых собственных векторов . Система векторов образует базис в пространстве размерности , иными словами, любой вектор размерности можно представить в виде разложения по . Недоверчивые могут найти доказательство этих утверждений в книге [11.1].

Здесь и в дальнейшем будем нумеровать собственные значения в порядке возрастания

. (11.1)

Возьмем произвольный вектор размерности . Хотя собственные вектора матрицы нам еще не известны, мы знаем, что можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов:

. (11.2)

Вычислим вектор :

. (11.3)

Здесь было использовано определение собственного вектора: .

Повторяя эту операцию раз, получаем

. (11.4)

Согласно принятой нумерации (11.1), максимальным из собственных значений будет . Поэтому в конце концов последнее слагаемое (11.4) должно намного превзойти все остальные, и в пределе должно совпасть по направлению с -м собственным вектором, а отношение длин векторов -го и -го приближений стремится к наибольшему собственному значению:

. (11.5)

Единственное замечание, которое осталось сделать перед тем, как перейти к практическому применению степенного метода: вектор следует каким-либо образом нормировать после каждого шага. Иначе этот вектор очень быстро вырастет до совершенно неприличных размеров. Например, можно очередное приближение вычислять следующим образом:

, (11.6)

где – значение первой компоненты произведения . Кстати, в этом случае последовательность значений должна сходиться к .

Пример. Найдем степенным методом максимальное собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы:

Примем в качестве начального вектора и выполним несколько приближений:

Как видим, результаты неуклонно приближаются к точному решению:

Точное решение этого примера получено на предыдущей лекции.

Замечание. Сходимость степенного метода может быть медленной, когда , или даже вообще отсутствовать (так как возможно ). Поэтому на практике степенной метод обычно применяют, используя для итераций не один, а несколько ортогональных векторов:

(11.7)

После каждой итерации ортогональность векторов, естественно, нарушается. Поэтому перед очередным приближением полученные вектора ортогонализируют по методу Грама ‑ Шмидта. Помимо улучшения сходимости такой подход позволяет вычислить не одно, а несколько пар собственных значений и собственных векторов.

Обратный степенной метод

Применяя степенной метод, мы получаем наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор . В задачах механики, как правило, наиболее интересны минимальные собственные значения . Так, в задачах о собственных колебаниях конструкции обычно практический интерес представляют несколько низших частот собственных колебаний.

В таких случаях удобнее использовать обратный степенной метод. Метод называется так потому, что итерации, аналогичные (11.6), выполняются не с самой исследуемой матрицей , а с обратной к ней матрицей :

. (11.8)

Здесь используется тот факт, что матрица имеет те же самые собственные вектора, что и матрица , а соответствующие собственные значения являются величинами, обратными собственным значениям : . В самом деле, пусть и – собственная пара матрицы

. (11.9)

Тогда, умножая (11.9) слева на , получаем

. (11.10)

Таким образом, в результате использования итераций (11.8), мы должны получить максимальное собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор , а, значит, и минимальное собственное значение матрицы с тем же собственным вектором .

Следует заметить, что обратный степенной метод вовсе не требует, как может показаться на первый взгляд, трудоемкого обращения матрицы. Выражение (11.8) можно переписать таким образом:

(11.11)

Следовательно, для получения очередного приближения надо только решить систему линейных уравнений (11.11) одним из методов, рассмотренных в первой части. Если, например, используется метод Холецкого:

, (11.12)

треугольное разложение матрицы достаточно выполнить только один раз. Тогда на каждой очередной итерации требуется только решить две треугольные системы.

Пример. Попробуем применить обратный степенной метод крассмотренной в разд. 6.1 матрице

Напомним, что в предыдущей лекции было получено точное решение:

; .

Нетрудно убедиться, что

тогда, приняв в качестве начального приближения

получим

;

Использование сдвига для улучшения сходимости

Так же, как и прямой степенной, обратный степенной метод может оказаться медленно сходящимся. Напомним (см формулу (11.2)), что вектор , принятый как начальный, можно представить как линейную комбинацию собственных векторов исследуемой матрицы :

. (11.13)

Тогда после -го шага обратного степенного метода

. (11.14)

Ясно, что вектор тем скорее станет доминирующим, чем больше будет отношение . Быстрее всего последовательность (11.14) сходилась бы, если бы было очень малой величиной, близкой к нулю. К сожалению, мы поменять не можем – ведь это и есть та величина, которую надо определить.

Вспомним, однако, свойство операции сдвига матриц:

Операцией сдвига по отношению к матрице называется вычитание из всех ее диагональных элементов одного и того же числа. Так, выражение

означает, что матрица получена в результате сдвига матрицы на .

Для приложений очень важно следующее свойство этой операции: в результате операции сдвига собственные значения матрицы изменяются на величину сдвига, а соответствующие собственные вектора остаются прежними. В самом деле, пусть собственное значение матрицы , а – соответствующий собственный вектор. Тогда

Если – собственные значения матрицы и – соответствующие собственные векторы, то матрица имеет собственные значения и собственные векторы .

Согласно этому свойству, если нам будет известно достаточно хорошее приближение , то обратный степенной метод для матрицы будет сходиться значительно быстрее, чем для матрицы . Полученные для минимальное собственное значение (обозначим его ) и собственный вектор позволяют определить минимальное собственное значение и собственный вектор матрицы .

Остается вопрос, откуда взять хорошее приближение для ? Практика и теоретические исследования показали, что лучшим выбором является отношение Рэлея:

, (11.15)

где, вообще говоря, – произвольный вектор; мы же будем брать в качестве вектор, полученный в результате очередной итерации.

Более подробно это отношение и его свойства будут рассмотрены в следующих лекциях. Здесь же отметим еще, что для произвольного вектора

, (11.16)

причем равенство достигается в случае, если является первым собственным вектором матрицы .

Пример. Вновь рассмотрим ту же матрицу

с тем же начальным вектором

Кстати, поясним несколько странный выбор начального вектора в трех примерах этого параграфа. Обычно при применении степенных методов, не мудрствуя лукаво, в качестве начального вектора берут вектор с единичными элементами, т.е. следовало бы принять . Однако в этом случае точно совпало бы с собственным вектором матрицы . Поэтому для того, чтобы показать, как в процессе итераций от исходного неточного вектора происходит постепенное приближение к собственному, пришлось немного «испортить» начальный вектор.

1-я итерация:

Как видим, уже первая итерация дала такую точность, какую методы без сдвига достигали лишь после третьей итерации. Для убедительности примера все-таки проведем еще одну итерацию.

2-я итерация:

Метод Якоби

Вспомним, что если – ортогональная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду: , то столбцы – собственные вектора матрицы , а элементы диагональной матрицы – ее собственные значения.