 |
Дальнейшее развитие понятия функции
|
|
|
|
Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.
В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.
|
|
|
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х (на отрезке a £ х £ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.
Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая “функция Дирихле” j (х):
ì 1 для всех рациональных значений х
j (х) = í
î 0 для всех иррациональных значений х
Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
|
|
|
Вот простой пример (рис. 1). Пусть х 1 х 2 х 3 - треугольник, d - прямая в плоскости треуголь- ника, рассматриваемая как ось симметрии. Каждой точке х (х 1, х 2, х 3, х 4,...), лежащей внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствие точку у (у 1, у 2, у 3, у 4,...), определенную указанным преобразованием симметрии. Таким образом, множество точек треугольника х 1 х 2 х 3 отображено на множест- во точек треугольника у 1 у 2 у 3.
Налицо имеется функция у = f (х), заданная на множестве х (значения аргумента, прообразы) точек треугольника х 1 х 2 х 3. Это так называемая “область определения функции”. Симметричный треугольник у 1 у 2 у 3 представляет множество у значений функции (образов). Характеристика f функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой d.
Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя; в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.
|
|
|
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца - И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.
Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ
Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.
|
|
|
В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой.
Но тем не менее, в настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:
“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.”
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
П р и м е р 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.
Так,
если a = 3, то S = 32 = 9;
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a 2
(по смыслу задачи a > 0).
|
|
|
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, - зависимой переменной ”.
“ П р и м е р 2. На рисунке 2 изображен график температуры воздуха в течении суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 £ t £ 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t = 6, то p = -2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3;
Здесь t является независимой переменной, а p - зависимой переменной.
П р и м е р 3. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующая стоимость проезда в тысячах рублей):
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2,..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m - зависимой переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым - они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. ”
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное полное и сжатое изложение учебного материала, пускай даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D (f) -область определения функции, E (f) - множество значений функции, f (х 0) - значение функции в точке х 0.
7. Если D (f) Ì R и E (f) Ì R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D (f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E (f) - значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры - идет усвоение нового материала.
Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.
|
|
|
