 |
Арифметика и алгебра – формально-логичны, теория пределов и математический анализ – диалектичны
|
|
|
|
Храбров И.Н. Логико-математическая экспликация постмодернистского метанарратива в современной культуре. 04.01.2017
Πνεῦμα ὁ Θεός — Бог есть Дух (Ин.4:24)
Моим недоброжелателям
Дорогие недоброжелатели!
Прекрасно знаю, что написанный ниже текст априорно покажется вам гуманитарным бредом и читать вы его не будете. Однако, в нём я ссылаюсь на статью
Г.Я. Перельмана, которую вы вряд ли читали. Мне же было интересно и познавательно прочесть её. Также вы вряд ли читали «Происхождения видов» Ч. Дарвина, и «Капитал» К. Маркса, а также другие великие книги. Прошу вас сначала прочитать эти книги, а потом критиковать меня. С уважением, и надеждой на понимание.
Что такое математика?
Для того, чтобы конкретно говорить о фундаментальных проблемах математики необходимо дать синтетическое определение её понятия, опираясь на определения классиков.
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт[9]:
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
В советское время классическим считалось определение из БСЭ[10], данное А. Н. Колмогоровым:
«Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».
Это определение Ф.Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
|
|
|
Формулировка Бурбаки[12]:
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным[1].
Арифметика и алгебра – формально-логичны, теория пределов и математический анализ – диалектичны
Как известно, именно математические вычисления обеспечивают работу существующих техник и технологий. Универсальность математики обусловлена тем, что материя как атрибут конечности может быть разложена на любые конечные количества и что эти конечные множества могут описывать любые свойства. Согласно мнению математика Дмитрия Ковалёва[2], развитие любого объекта можно описать посредством дифференциального уравнения.
Впервые закон тождества сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом: «…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет (определенных) значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить (каждый раз) что-нибудь одно [3]»
|
|
|
С той или иной долей условности данный закон записывается: А есть А. Можно продолжить и сказать, что А есть А, и не есть не А. Вещь, мысль, эмоция, предмет есть именно они, а не другое.
Логика находится на стыке математике и философии, гуманитарных и точных наук. Между математикой и логикой идёт своего рода конкуренция за право быть «Царицей наук», быть универсальным методом познания.
Закон тождества применяется в классической науке, однако, этот закон нарушается в философии, а именно посредством диалектики. Согласно диалектическому умозаключению: «Бытие есть чистое ничто, а ничто есть чистое бытие[4]». То есть на языке формальной логике, А есть Б, а Б есть А – налицо прямое нарушение классического закона. Так или иначе, в науке применяется так называемый диалектический метод. Его много критиковали и высмеивали, но факт наличия философского метода диалектического и исторического материализма отрицать не приходится.
Как выясняется при поверхностном анализе разным разделам математики присущи как формально-логический метод, так и диалектический. Закон тождества работает в области арифметики и алгебры. В самом деле, математическое равенство, рассматривается как вид эквивалентности, равнозначно в сфере простых числовых отношений (то есть арифметики) логическому тождеству. 5 = 5 во многом, но не во всём эквивалентно выражению А есть А. О различии тождества и равенства попытаемся поговорить, когда будем говорить собственно о структуре трансцендентности числа Пи.
Собственно диалектический метод свойственен фундаментальному концепту математического анализа – понятию предела.
В книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика[5]?» авторы апеллируют к диалектическим апориям Зенона, объясняя понятие предела[6]. Б.С. Бояршинов использует апорию «Ахиллес и Черепаха»[7] для демонстрации сущности предела. Скорость Ахиллеса быстрее скорости черепахи в 10 раз. В то время как черепаха проползает 10 метров, Ахиллес пробегает 100 метров. То есть в момент, когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха будет находится на 110 метров от места старта Ахиллеса. Пробежав 10 метров Ахиллес, черепаха отдалится на 1 метр и будет на 111 метров от места старта «забега» Ахиллеса, а всего проползёт 11 метров. Таким образом, предел бесконечной суммы будет равен 111,11111111111111…n метра в десятичной записи.
|
|
|
100 + 10 = 110
110 + 1 = 111
111 + 0,1 = 111,1
111,1 + 0,01 = 111,11
111,11 + 0,001 = 111,111
Либо, 
метра в записи посредством обыкновенных дробей. Так как 
в десятичной записи как раз и равняется 0,1111111111…n.
В первом случае мы видим бесконечный предел бесконечной суммы, во втором конечную сумму бесконечных частей, записанную посредством обыкновенной, а не десятичной дроби.
Подтверждает диалектичность в форме софистики бесконечно малые числа и классик логики математик Б. Рассел в своём труде «Логический атомизм»: Казалось, что наилучший шанс обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог справиться сам [8].
Два типа записи выражают здесь два логико-гносеологических подхода. Если обыкновенная дробь здесь выражает абсолютно тождественный, равный самому себе конечный предел, то десятичная дробь выражает неравный самому себе бесконечный предел. Мы видим в такой двойной записи соединение формально-логического закона тождества и диалектического закона единства тождества и различия. Этот горизонтальный и вертикальные методы познания конституируются в универсальном понятии математической функции, которая описывает качества, количества и меры.
Учитывая то, что предел является фундаментальным концептом, который определяет весь математический анализ, интегральное и дифференциальное исчисление, мы не можем не отметить, что связь апории и пределов предельно важна не только в математическом нарративе, но и в универсальной теории познания в целом.
Собственно авторы книги «Что такое математика?» не скрывают факт наличия диалектики в математике: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Её основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки [9]».
|
|
|
Объективно математика и диалектика примирились в теореме о неполноте К. Гёделя, с чем соглашается Ж. Лиотар «Математическое исследование, закончившееся теорией Гёделя, служит настоящей парадигмой такого изменения природы знания. Но не менее показательна в аспекте нового научного духа трансформация динамики.» [10] После этого примирения закончилась фундаментальные математические искания, а также филсоофские. Именно к этому выводу пришли философ Руднев Вадим Петрович — семиотик, лингвист и философ, доктор филологических наук. Аронсон Олег Владимирович в программе «Гордон», посвященную Л. Витгенштейну[11].
|
|
|
