Тема 2. Численное интегрирование. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методические указания и задания к контрольной работе. А) Каждый студент вначале должен решить контрольные задания, для чего определить параметр своего контрольного задания: S = (N+1), где N – значение последней цифры зачетки.Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. Оформляется произвольным образом. Образцы решений приведены ниже. Задания: 1. Методом Ньютона или хорд найти корень уравнения x3 +2x – 13 -5+s =0 с точностью e = 10-3.
2. Построить по методу наименьших квадратов многочлен первой степени и оценить степень приближения. Значения yi в точках xi, i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице. 3. Вычислить приближенно по формуле левых, правых или средних прямоугольников (по желанию) интеграл Б) Ответить на т еоретические вопросы: . Вариант первой темы выбирается по последней цифре зачетки, а второй по предпоследней цифре. Тема 1. Понятие погрешности. Решение уравнений 1. Понятие численных методов. 2. Классификация нелинейных уравнений. 3. Исследование уравнений и отделение корней. 4. Методы решения. Понятие итерации. 5. Источники погрешности решения задач на ЭВМ. 6. Дать описание алгоритма метода половинного деления. 7. Необходимые условия сходимости метода половинного деления. 8. Условие окончания счета метода простой итерации. Погрешность метода. 9. Описание алгоритма метода хорд. Графическое представление метода. Вычисление погрешности. 0. Описание алгоритма метода касательных (Ньютона). Графическое представление метода. Условие выбора начальной точки. Тема 2. Численное интегрирование. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Постановка задачи численного интегрирования 2. Метод средних прямоугольников 3. Метод трапеций 4 Метод Симпсона (метод парабол) 5 Правило Рунге практической оценки погрешности 7. Опишите решение задачи Коши методом Эйлера. 8. Опишите решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера. 9 Опишите решение задачи Коши методом Рунге-Кутта. 0. Что такое порядок точности метода и как он связан с его эффективностью? Приведите примеры методов разных порядков. Задача 1. Решение нелинейных уравнений. Используется итерационные процедуры, которые предполагают: а) задание начального приближения Хо. б) использование рекуррентных формул метод Ньютона i=1,2,….до сходимости. в) критерий остановки дальнейших вычислений по достижении заданной точности:
Пример решения: решить уравнение х3 – 7 = 0. 1. Находим интервал изоляции корня. Он расположен на отрезке [1,3]. На концах отрезка функция f(x) = x3 – 7 принимает разные знаки. f(1)=-6, а f(3)=20, следовательно корень внутри этого интервала. 2. Находим первую и вторую производную функции f(x): f’ (x) = 3x2, f’’ (x) = 6x.
а) Задаем нулевое приближение x0 =3, вычисляем значение функции f(x)=20 и ее производной f’ (3)=27. б) Затем находим отношение f(3)/f’ (3)=0.7407 и вычисляем очередное значение x1 = x0 –f(x0)/f (x0): x1 = 3 – 20/27 = 3-0.7407 = 2.2593. в) Аналогично находим х2 и т. д. Результаты расчетов заносим в таблицу
г) На четвертой итерации значение f(x) по модулю меньше заданной точности, поэтому дальнейшие расчеты не проводим.
Ответ: Корень уравнения равен 1.9129.
Задача 2. Линейная регрессия. Уравнение линейной регрессии y(x) = a + bx, где Пример решения: По данным таблицы построить аппроксимационный многочлен первой степени, т.е. найти уравнение линейной регрессии. Оценить степень приближения.
Решение: для решения задачи составляются таблицы, содержащая значения необходимые для расчетов. Расчеты удобно проводить используя пакет Excel.
В этой таблице приводятся значения Yr, вычисленные по уравнению регрессии и относительные отклонения расчетных и табличных оценок, взятые по модулю. В предпоследней строке соответствующие суммы, а в последней их средние значения. 11% - это средняя погрешность модели, которую можно считать удовлетворительной.
На нем отмечены табличные значения, вид уравнения и коэффициент детерминации R2.
Задача 3. Численное интегрирование. Интервал интегрирования разбивается на n интервалов. Затем находится шаг h и Xi: h=(b-a)/n, Xi= a + i*h.Здесь а – нижний предел, в – верхний предел, n – число участков разбиения. Для численного интегрирования используются квадратурные формулы
Для используемых формул левых, правых и средних прямоугольников имеем:
Решение примера(S = 0): По данным таблицы и приведенным выше формулам находим значения интеграла по различным формулам Сравним с точными значениями Делаем вывод, что формула средних прямоугольников обеспечивает удовлетворительную точность. Литература Основная
Дополнительная
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|